Usar las propiedades topologicas para clasificar topologicamente
Clasificar topológicamente las vocales mayúsculas: A, E, I, O, U (justo las que se muestran aquí; supongan que están hechas de segmentos o curvas) utilizando las propiedades topológicas. Deben argumentar formalmente su respuesta, es decir, si dicen que un par de letras son homeomorfas deben demostrarlo (lo mismo si dicen que no son homeomorfas).
1 respuesta
Amo Mo!
Las letras I y U son homeomorfas se puede pasar de una a otra doblando y desboblando sin romper nada.
En las letras I, O y U todos los puntos tienen orden de corte 1, es decir, al quitar cualquier punto queda una componente conexa
En la letra A hay puntos de corte de orden 1 y de orden 2, los de la izquierda y la derecha de la barrita horizontal son de orden 2.
La letra E tiene un punto de corte de orden 3, el de la vertical en el centro.
Como la imagen por un homeomorfismo conserva el orden de corte de los puntos no puede haber homeomorfismos entre letras de dos grupos distintos
{I,O,U} {A} {E}
Luego solo puede haber homeomorfismos dentro del grupo {I, O, U}
La I y la U ya hemos dicho que son homeomorfas, pero la O no es homemorfa con ellas.
Ya que si en la I tomamos un segmento desde arriba hasta la mitad abierto por el punto de la mitad, eso es un abierto. Mientras que la imagen de ese abierto en la letra O es un segmento abierto por un lado y cerrado por otro, luego no es un abierto. Entonces la función I ----> O no transforma abiertos en abiertos, es decir la inversa de la función O ---> I no es continua. Y ambas funciones deben ser continuas para que haya homeomorfismo.
Seguramente en el libro lo tendras mejor explicado con un ejemplo de una función del intervalo [0, 2pi) en la circunferencia de radio 1, o algo similar a eso donde se demuestra que no hay homeomorfismo.
Resumiendo, el único homeomorfismo es entre la I y la U
Y eso es todo.
Espera que lo hice mal.
Hola lo que me dice "Espera que lo hice mal", algo anda mal?
Beno, lo de que la I y la U son homeomorfas lo seguimos manteniendo.
Los puntos de corte son
I y U: 2 puntos de corte 1, infinitos de corte 2
O : infinitos de corte 1
A ; infinitos de corte 1, 2 de corte 2
E : 2 de corte 1, infinitos de corte 2, 1 de corte 3
Y unicamente puede haber homeomorfismo si la cantidad de puntos de cada tipo de corte coincide. Y solo la I y la O tienen los mismos puntos de corte.
Y eso es todo un saludo.
¡Gracias! le agradezco su apoyo y atención, voy a subir otras preguntas espero me pueda apoyar, gracias.
saludos.
Aun me confundí en algo:
E : 3 de corte 1, infinitos de corte 2, 1 de corte 3
¡Gracias! Ok enterado, esta completo?
saludos.
Si, ahora está completo salvo que necesites alguna aclaración.
Espera que no está bien del todo. La topología no es lo mío.
Entonces lo espero gracias.
Las componentes conexas que quedan al quitar un punto el orden de corte de un punto.
Los posibles órdenes de corte de las letras son
I y U : 2 puntos de corte 1, infinitos de corte 2
O : Infinitos de corte 1
A : Infinitos de corte 1(los dos de abajo y los del triangulo superior salvo sus dos vértices de abajo), infinitos de corte 2 (esos dos vertices que te decía y los palitos de abajo salvo los dos puntos finales de abajo
E: 3 puntos de corte 1 (los de la derecha), 1 punto de corte 3 (el del centro del palo izquierdo), infinitos de corte 2 (el resto)
De los cuatro grupos no hay dos que tengan el mismo número de puntos de corte de todos los órdenes
| 1 | 2 | 3 --------------------- I, U | 2 | oo | 0 O |oo | 0 | 0 A |oo | oo | 0 E | 3 | oo | 1
No hay dos filas iguales.
Luego únicamente puede haber homomorfismo entre la I y la U.
La I por un giro de 90º se transforma en un segmento por ejemplo en el segmento [-1, 1]
Y luego hay funciones que asemejan bastante la U por ejemplo un monomio par con grado bastante alto
f: [-1,1] -----> R^2
x -----> (x, x^8)
es una función continua como todas las polinómicas y con inversa continua,
f^-1(x, x^8) = x
Luego es un homeomorfismo
Y eso es todo.
¡Gracias! le agradezco su apoyo, me queda claro, espero me pueda apoyar con los otros problemas.
saludos.
Yo juraría que esta pregunta estaba puntuada, pero aquí aparece que no lo está. Puntúala de nuevo si ya lo estaba para ver si reaccona.
