Hola ¿Podrían ayudarme con el siguiente problema sobre métricas?
Sea X un conjunto no vacío y sea d: X x X --> R una función con las siguientes propiedades:
a) d(x,y) = 0 si y sólo si x = y, para x,y en X.
b) Para todo x,y,z en X, d(x,y) <= d(x,z) + d(y,z)
Demostrar que d es una métrica.
1 respuesta
Sí es correcto el enunciado, de hecho, a mí también me pareció muy raro éste problema. ¿Cómo podría concluir con la rareza de éste problema?
Muchas gracias
Si la hipótesis de que ese enunciado está mal es verdadera, tendrías que encontrar una función que cumple esas dos condicones pero que no cumple todo lo que falta para ser métrica, es decir, que puede tener valores negativos o que no es simétrica, d(x, y) distinto de d(y, x) para algún x, y.
Lo primero que se ocurre al hilo de esto sería tomar una función distancia pero sin módulo en R
d(x,y) = y-x
veamos que cumple las condiciones del enunciado
1) d(x,y) = 0 <==> x=y
2) d(x,y) = y-x = z - x + y - z = d(x,z) + d(z,y)
luego
d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y)
Aquí se cumplirían las dos condiciones del enunciado pero d no es una métrica porque
a) d(x,y) <0 si x>y
b) d(x,y) = -d(y,x)
Y eso es todo.
