1. Si A, B y C son tres conjuntos, entonces:
Si A, B y C son tres conjuntos, entonces:
A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
- A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C
Son las leyes de De Morgan.
1. Si x pertenece a A – (B ∪ C), entonces x pertenece a A y no pertenece a B ∪ C, lo cual signifa que x no pertenece a B ni a C. Por lo tanto, x pertenece a (A – B) ∩ (A – C). El recíproco es parecido.
2. Similar a 1.
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1) Sea x € A - (B ∪ C) , entonces x€A pero no pertenece a B, luego x € A-B, y tampoco pertenece a C, luego x € A-C. Y si pertenece a dos conjuntos pertenece a su intersección
x € (A-B) ∩ (A-C)
Ahora sea x € (A-B) ∩ (A-C), x€A pero no pertenece a B y no pertenece a C, luego no pertenece a B∪C,
luego x€ A-(B∪C)
2) Sea x € A – (B ∩ C)
Si x no pertenece a B ni C ==> x € A-B y x € A-C ==> x € (A-B) ∪ (A-C)
Si x € B pero no pertenece a C ==> x € A-C ==> x € (A-B) ∪ (A-C)
Si x € C pero no pertenece a B ==> x € A-B ==> x € (A-B) ∪ (A-C)
Y el caso que queda no sirve ya que si x € (B ∩ C) no se cumple la hipótesis.
Y en sentido contrario
Sea x € (A-B) ∪ (A-C)
x € A ya que A-B y A-C son subconjuntos de A
Si x no pertenece a B o no pertenece a C ==> x no pertenece a B ∩ C ==> x € A-(B ∩ C)
Si x pertenece a B ∩ C es absurdo ya x no pertenece a (A-B) y x no pertenece a (A-C), luego
X no pertenece a (A-B) ∪ (A-C) que es contradictorio con la hipótesis.