1. Si A, B y C son tres conjuntos, entonces:

1)   Sea x € A - (B ∪ C) , entonces x€A pero no pertenece a B, luego x € A-B, y tampoco pertenece a C, luego x € A-C. Y si pertenece a dos conjuntos pertenece a su intersección

x € (A-B) ∩ (A-C)

Ahora sea x € (A-B) ∩ (A-C), x€A pero no pertenece a B y no pertenece a C, luego no pertenece a B∪C,

luego x€ A-(B∪C)

2) Sea x € A – (B ∩ C)

Si x no pertenece a B ni C ==> x € A-B  y x € A-C ==> x € (A-B) ∪ (A-C)

Si x € B pero no pertenece a C ==>  x € A-C ==> x € (A-B) ∪ (A-C)

Si x € C pero no pertenece a B ==>  x € A-B ==> x € (A-B) ∪ (A-C)

Y el caso que queda no sirve ya que si x € (B ∩ C) no se cumple la hipótesis.

Y en sentido contrario

Sea x € (A-B) ∪ (A-C)

x € A ya que A-B y A-C son subconjuntos de A

Si x no pertenece a B o no pertenece a  C ==> x no pertenece a B ∩ C ==> x € A-(B ∩ C)

Si x pertenece a B ∩ C es absurdo ya x no pertenece a (A-B) y x no pertenece a (A-C), luego

X no pertenece a (A-B) ∪ (A-C) que es contradictorio con la hipótesis.

Son las leyes de De Morgan.

1. Si x pertenece a A – (B ∪ C), entonces x pertenece a A y no pertenece a B ∪ C, lo cual signifa que x no pertenece a B ni a C. Por lo tanto, x pertenece a (A – B) ∩ (A – C). El recíproco es parecido.

2. Similar a 1.