Calcular determinante con matriz triangular

No puede dar distinto.

Voy a comprobar que tienes bien hecho a y b

...

Si, está bien, es -4

Ahora restaremos la primera fila a todas las demás. A mí no me gusta pensar en restas en estas operaciones, me lío mucho, luego lo que yo hago en mi mente es sumar la primera fila multiplicada por (-1)

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1   -1   2   1

0    0   2  -2

0    2  -4   2

0 2 -1 0

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Mira que son retorcidos, han puesto la matriz a propósito para que salga ese 0 an el lugar 2,2

Hay estas soluciones:

1) Cambiar dos filas, pero teniendo en cuenta que cambia el signo del determinante.

2) Sumar a la segunda la tercera o la cuarta.

Pero como nos dicen de triangular la matriz yo creo que hay que dejar cada fila en su sitio y será mejor usar el método 2. Si en clase los habéis hecho cambiando filas lo haces así. Sumaré la fila cuarta a la segunda.

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1   -1   2   1

0    2   1  -2

0    2  -4   2

0 2 -1 0

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Y ahora la segunda por (-1) la sumaré a tercera y cuarta

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1   -1   2   1

0    2   1  -2

0 0 -5 4

0 0 -2 2

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Y finalmente hay que sumar a la cuarta la tercera multiplicada por (-2/5)

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1   -1   2     1

0    2   1    -2

0    0  -5     4

0    0   0   2-8/5

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Ya no vamos a escribir más veces la matriz, simoplemente calculamos el último coeficiente

2-8/5 = 2/5

Y cuando la matriz tiene todo ceros por debajo de la diagonal principal el determinante es el producto de los elementos de la diagonal

$$\begin{align}&|M| = 1·2·(-5)·\frac 25= 4·\left(-\frac{5}{5}\right)=-4\end{align}$$

Y eso es todo, como ves el desterminante tiene que dar lo mismo independientemente del método usado.

Lo único que puede ser que no le guste al profesor el no haber cambiado dos filas, pero ya sabes como son los profesores, si lo haces de una forma te dicen que hay que hacerlo de la otra.