¿Cómo resolver la siguiente integral un poco complicada por ser impropia?
Hola Valero
La integral es...
$$\begin{align}&\int^{+\infty}_{-\infty}{\frac{x}{(x^2+1)(x^2+2x+12)}}dx\\ &\end{align}$$Sé que hay que utilizar fracciones parciales. Usted puede brincar ese paso y dar las fracciones parciales directamente, yo las calcularé por mi cuenta. Lo que pasa es que donde se me complica mucho es cuando tenemos que utilizar los limites, es algo que debo hacer cuidadosamente al utilizar logaritmos y sus propiedades para poder tener un sólo término, cosas así...
Espero su gran ayuda.
1 Respuesta
Son dos factores cuadráticos.
x = (A + C)x^3 + (2A + B + D)x^2 + (2A + 2B + C)x + (2B + D)
Sabemos que x^3, x^2, x y 1 son funciones linealmente independientes, por lo que igualando con el miembro izquierdo, tiene que ser
A + C = 0
2A + B + D = 0
2A + 2B + C = 1
2B + D = 0
La solución es A = 1/5, B = 2/5, C = -1/5, D = -4/5
Luego, las parciales son
(x + 2)/[5(x^2 + 1)] + (-x - 4)/[5(x^2 + 2x + 2)]
(x + 2)/[5(x^2 + 1)] - (x + 4)/[5(x^2 + 2x + 2)]
Luego la integral por linealidad es
$$\begin{align}&=\int^{+\infty}_{-\infty}(x + 2)/[5(x^2 + 1)] - \int^{+\infty}_{-\infty}(x + 4)/[5(x^2 + 2x + 2)]\\ &\\ &=(1/5)\int^{+\infty}_{-\infty}(x + 2)/(x^2 + 1) - (1/5)\int^{+\infty}_{-\infty}(x + 4)/(x^2 + 2x + 2)\\ &\\ &=(1/10)[ln(x^2+1)]^{+\infty}_{-\infty}+(2/5)[tan^{-1}(x)]^{+\infty}_{-\infty}-(1/10)[ln(x^2+2x+1)]^{+\infty}_{-\infty}-(1/5)[tan^{-1}(x+1)]^{+\infty}_{-\infty}\\ &\\ &(1/10)[ln(\frac{x^2+1}{x^2+2x+1})]^{+\infty}_{-\infty}\end{align}$$Hasta aquí he llegado al parecer...
¡Ay Mciao que pena!
El 12 lo has tomado como un 2 nada más empezar, y por lo tanto no está bien.
¿Quieres volver a intentarlo?
Ah, de hecho realmente es 2, lo que pasa es que la pregunta la hice mal... pero realmente es 2, ya que todo lo hice en libreta, sólo trato de escribirlo.
Entonces lo que he hecho está bien, sólo donde me quede es donde ya no sé que hacer. Espero su ayuda...
No había mirado el resto, ahora lo repaso.
La descomposición está bien.
La segunda integral no la hiciste bien
$$\begin{align}&- \frac 15\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{x + 4}{x^2 + 2x + 2}dx=\\ & \\ & - \frac 1{10}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{2x + 8}{x^2 + 2x + 2}dx=\\ & \\ & - \frac 1{10}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2}dx - \frac 1{10}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{6}{x^2 + 2x + 2}dx=\\ & \\ & \frac{-1}{10}\left[ln(x^2+2x+2) \right]_{-\infty}^{+\infty}-\frac 35\int_{-\infty}^{+\infty}\frac {dx}{(x+1)^2+1}=\\ & \\ & \frac{-1}{10}\left[ln(x^2+2x+2) \right]_{-\infty}^{+\infty}-\frac 35\left[arctg(x+1)\right]_{-\infty}^{+\infty}\\ &\\ &\text{Luego la integral completa es}\\ &\\ &\frac 1{10}\left[ ln(x^2+1)-ln(x^2+2x+2)\right]_{-\infty}^{+\infty}+\\ &\\ &\frac 15\left[ 2arctgx-3arctg(x+1)\right]_{-\infty}^{+\infty}=\\ &\\ &\frac 1{10}\left[ln \frac{x^2+1}{x^2+2x+2}\right]_{-\infty}^{+\infty}+\frac 15\left[ 2arctgx-3arctg(x+1)\right]_{-\infty}^{+\infty}=\\ &\\ &\frac{1}{10}\left[ ln\left( 1-\frac{2x+1}{x^2+2x+2} \right) \right]_{-\infty}^{+\infty}\frac 15\left[ 2arctgx-3arctg(x+1)\right]_{-\infty}^{+\infty}=\\ &\\ &\frac 1{10}\lim_{x\to \infty} ln\left( 1-\frac{2x+1}{x^2+2x+2} \right)-\frac 1{10}\lim_{x\to -\infty} ln\left( 1-\frac{2x+1}{x^2+2x+2} \right)+ \\ &\\ &\frac 15\lim_{x\to\infty}[2arctgx-3arctg(x+1)]-\frac 15 \lim_{x\to -\infty}[2arctgx-3arctg(x+1)]=\\ &\\ &\text{sabemos que límite de ln = ln de límite}\\ &\text{y que si grado numerador menor denominador }\lim_{x\to\pm\infty}=0\\ & \\ &\frac {1}{10}ln(1)-\frac{1}{10}ln(1)+\frac 15\left(\pi-\frac{3\pi}{2} \right)-\frac{1}{5}\left(-\pi+\frac{3\pi}{2} \right)=\\ &\\ &-\frac \pi{10}-\frac \pi{10}=-\frac{\pi}{5}\\ & \end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. El ordenador esá medio muerto de todo el trozo de fórmulas que he puesto, pensaba que no terminaba nunca.
