¿Me puedes ayudar con estas ecuaciones diferenciales?
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a.- y^4 - 20y```+ 158y`` -580y`+841y = 0
b.- x^3y```+2x^2y`` +20xy`-78y = 0 y= 20(cos(5 ln x) / x) + 3(sen(5 ln x / x))
Saludos.
1 respuesta
Haré solo uno en esta pregunta, estoy pidiendo un ejercicio por pregunta para otros de mucho menos nivel.
·
a)
Supongo que con y^4 quieres decir la derivada cuarta, si no sería una ecuación endiablada.
Es una ecuación lineal con coeficientes constantes homogénea. Hay que calcular las raíces de la ecuación característica y luego usar ciertas reglas.
La ecuación característica es
k^4 - 20k^3 + 158k^2 - 580k + 841 = 0
Es una ecuación que no se resuelve así como así, con el ordenador o una vez que se sabe si se puede resolver, pero así de golpe y sin estar en tu pellejo yo no sé lo que te han enseñado y si has hecho ejercicios parecidos. Luego dime como se supone que hay que resolver esa ecuación, que no es nada obvio.
Correcto, tienes razón es así com tu dices:
k^4 - 20k^3 + 158k^2 - 580k + 841 = 0
Saludos.
Si, pues el problema es ese, que esa ecuación solo la sabe resolver el que la ha puesto y cuatro expertos más en el mundo. No me las voy a dar de listo, el programa Maxima me dice que eso es
(k^2 - 10k + 29)^2
Y yo no lo habría deducido en mi vida con los conocimientos que tengo en este momento.
Y ahora calculamos las raíces de cada uno
$$\begin{align}&k=\frac{10\pm \sqrt{100-116}}{2}=5\pm2i\\ &\\ &\text {sabemos que al par de raíces complejas conjugadas } \\ &\\ &\alpha \pm \beta i\\ &\\ &\text{les corresponde la solución}\\ &\\ &e^{\alpha x}(C_1cos \beta x+C_2sen\,\beta x)\\ &\\ &\text{y si ese par de soluciones tiene multiplicidad }n\ge2\\ &\text {se añaden suluciones como esa multiplicadas por }x, x^2, x^{n-1}\\ &\text{en nuestro caso la multiplicidad es 2 y la solución es}\\ &\\ &y = e^{5x}(C_1cos 2x+C_2sen\, 2x+C_3\,x\,\cos 2x+C_4\,x\,sen\,2x)\end{align}$$Y eso es todo.
