Si, pues el problema es ese, que esa ecuación solo la sabe resolver el que la ha puesto y cuatro expertos más en el mundo. No me las voy a dar de listo, el programa Maxima me dice que eso es
(k^2 - 10k + 29)^2
Y yo no lo habría deducido en mi vida con los conocimientos que tengo en este momento.
Y ahora calculamos las raíces de cada uno
$$\begin{align}&k=\frac{10\pm \sqrt{100-116}}{2}=5\pm2i\\ &\\ &\text {sabemos que al par de raíces complejas conjugadas } \\ &\\ &\alpha \pm \beta i\\ &\\ &\text{les corresponde la solución}\\ &\\ &e^{\alpha x}(C_1cos \beta x+C_2sen\,\beta x)\\ &\\ &\text{y si ese par de soluciones tiene multiplicidad }n\ge2\\ &\text {se añaden suluciones como esa multiplicadas por }x, x^2, x^{n-1}\\ &\text{en nuestro caso la multiplicidad es 2 y la solución es}\\ &\\ &y = e^{5x}(C_1cos 2x+C_2sen\, 2x+C_3\,x\,\cos 2x+C_4\,x\,sen\,2x)\end{align}$$
Y eso es todo.