Por favor ayuda con la resolución de esta ecuación diferencial
Resuelve la siguiente ecuación diferencial exacta:
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}+\frac{y(2x^3-y^3)}{x(2y^3-x^3}=0\end{align}$$
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Respuesta de Lucas m
1
Jacarcan can!
Es una ecuación diferencial de 1er orden, homogénea del tipo y ' =f(y/x)
Con el cambio de variable u=y/x se transforma en una ED de variables separables.
Vamos allá:
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{y(y^3-2x^3)}{x(2y^3-x^3)}\\ &\\ &dividiendo \ numerador \ y \ denominador \ por \ x^3\\ &\\ &y'=\frac{\frac{y(y^3-2x^3)}{x^3}}{\frac{x(2y^3-x^3)}{x^3}}\\ &\\ &y'=\frac{y}{x}·\frac{(\frac{y}{x})^3-2}{2(\frac{y}{x})^3-1}\\ & \\ &\\ &Cambio \ de \ variable \ u=\frac{y}{x} \Rightarrow \ ux=y \Rightarrow \ derivación \ implicita\\ & u'x+u=y'\\ &\\ &Sustituyendo \ en \ ED:\\ &u'x+u=\frac{u[u^3-2]}{[2u^3-1]}\\ &\\ &u'x= \frac{u[u^3-2]}{[2u^3-1]}-u=\frac{-u^4-4}{2u^3-1}\\ &\\ &\frac{du}{dx}x=\frac{-u^4-4}{2u^3-1}\\ &\\ &Separando \ variables:\\ &\\ &\frac{2u^3-1}{-u^4-u}du=\frac{dx}{x}\\ &\\ &Integrando:\\ &\int \frac{1-2u^3}{u^4+u}du=\int \frac{dx}{x}\\ &\\ & \\ &\int \frac{dx}{x}=lnCx\\ &\\ &\int \frac{1-2u^3}{u^4+u}du=\int \frac{A}{u}+\frac {B}{u+1}+\frac{Cu+D}{u^2-u+1}\\ &\\ &Descomposición \ en \ fracciones \ simples \ con \ raices \ complejas \ conjugadas\\ &A=1\\ &B=-1\\ &C=-2\\ &D=1\\ &\\ &\int \frac{1-2u^3}{u^4+u}du=\int \frac{1}{u}+\frac {-1}{u+1}+\frac{-2u+1}{u^2-u+1}=\\ &lnu-ln(u+1)-ln(u^2-u+1)=ln \frac{u}{(u+1)(u^2-u+1)}\\ &\\ &De \ donde \\ & ln\frac{u}{(u+1)(u^2-u+1)}=lnCx \\ &\\ &u \not=0 \ u\not=-1\\ &\\ &\frac{u}{(u+1)(u^2-u+1)}=Cx\\ &\\ &u=y/x\\ &\\ &\frac{\frac{y}{x}}{(\frac{y}{x}+1)[(\frac{y}{x})^2-\frac{y}{x}+1]}=Cx\\ &\\ &\frac{y}{x}=Cx·{(\frac{y}{x}+1)[(\frac{y}{x})^2-\frac{y}{x}+1]}\\ &\\ &y=Cx^2(\frac{y+x}{x})(\frac{y^2-yx+x^2}{x^2})\\ &\\ &Operando\\ &\\ &y=\frac{C}{x}(y^3+x^3) (Solución \ General) \\ &u=0 \Rightarrow y=0 (Solución \ particular)\\ &u=-1\Rightarrow y/x=-1\Rightarrow y=-x (Solución \ particular)\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Espero que te sirva y gracias por valorar.
Un placer.
Si no entiendes la descomposición en fracciones simples mándame otra pregunta
Y te lo hago detalladamente
Muchas ¡Gracias! por tu ayuda, de verdad la valoro!
Hay un error tipográfico donde está despejada u'x
hay un -4 que es-u
$$\begin{align}&pone\\ &u'x=\frac{-u^4-4}{2u^3-1}\\ &es\\ &\\ &u'x=\frac{-u^4-u}{2u^3-1}\end{align}$$La resolucón es correcta.
