Ejercicio sobre ecuaciones diferenciales lineales

Pongamos la en la forma  M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 

y comprobemos si es diferencial exacta:

$$\begin{align}&\ y' + y(\frac{1}{x})=x^3-3\\ &\\ &\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x^3-3\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}+x^3-3\\ &\\ &xdy=(-y+x^4-3x)dx\\ &\\ &(y-x^4+3x)dx+xdy=0\\ &\\ &M(x,y)=y-x^4+3x\\ &N(x,y)=x\\ &\\ &M_y=\frac{\delta M}{\delta y}=1\\ &\\ &N_x=\frac{\delta M}{\delta x}=1\\ &\\ &M_y=N_x \Rightarrow diferencial \ exacta\\ &\Rightarrow  \exists  \  \psi(x,y)    \\ &tal  \ que\\ &\\ &\psi_x=y-x^4+3x\\ &\\ &\psi_y=x\\ &\\ &Integrando \ \\ &\psi =\int (y-x^4+3x)dx+h(y)\\ &\\ &\psi(x,y)=yx- \frac{x^5}{5}+\frac{3x^2}{2}+h(y)\\ &\\ &\psi_y=x+h'(y)\\ &\\ &x+h'(y)=x\\ &\Rightarrow\\ &h'(y)=0\\ &h(y)=C\\ &\\ &\psi(x,y)=xy-\frac{x^5}{5}+\frac{3x^2}{2}+C\\ &\\ &\end{align}$$