Ayuda por favor con máximos y mininos de una función, gracias.

$$\begin{align}&\ x+y=9 \Rightarrow y=9-x\\ &\\ &f(x,y)=x·y^2 \Rightarrow f(x)=x·(9-x)^2\\ &\\ &f(x)=x(81-18x+x^2)=x^3-18x^2+81x\\ &\\ &f(x)'=3x^2-36x+81\\ &\\ &f(x)'=0=3x^2-36x+81\\ &x_1=9 \Rightarrow y_1=0\\ &x_2=3 \Rightarrow y_2=3\\ &\\ &f(x)''=6x-36\\ &\\ &f(9)''>0 \Rightarrow mínimo \ relativo\\ &f(3)''

Observa que el máximo relativo es x=3, el otro número sería 6 y el producto=6^2·3=108

Pero en este problema el máximo relativo no es el máximo absoluto, pues cuanto mayor sea x mayor será el producto. Por ejemplosi x=100  y=9-100=-91  y el producto ahora sería mayor 100·(-91)^2

No es maximizable este producto

$$\begin{align}&\ x+y=9 \Rightarrow y=9-x\\ &f(x,y)=x·y^2 \Rightarrow f(x)=x·(9-x)^2\\ &\\ &f(x)=x(81-18x+x^2)=x^3-18x^2+81x\\ &\\ &f(x)'=3x^2-36x+81\\ &\\ &f(x)'=0=3x^2-36x+81\\ &x_1=9 \Rightarrow y_1=0\\ &x_2=3 \Rightarrow y_2=3\\ &\\ &f(x)''=6x-36\\ &\\ &f(9)''>0 \Rightarrow mínimo \ relativo\\ &f(3)''

Vaya, fallo el editor de ecuaciones, a ver ahora

No se que pasa con el editor

$$\begin{align}& x+y=9 \Rightarrow y=9-x\\ &f(x,y)=x·y^2 \Rightarrow f(x)=x·(9-x)^2\\ &\\ &f(x)=x(81-18x+x^2)=x^3-18x^2+81x\\ &\\ &f(x)'=3x^2-36x+81\\ &\\ &f(x)'=0=3x^2-36x+81\\ &x_1=9 \Rightarrow y_1=0\\ &x_2=3 \Rightarrow y_2=3\\ &\\ &f(x)''=6x-36\\ &\\ &f(9)''>0 \Rightarrow mínimo \ relativo\\ &f(3)''