Es o no espacio vectorial, si lo son ...

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Si, R es un espacio vectorial de los más notables que hay. Todo cuerpo sobre si mismo es un espacio vectorial, pero me parece que esto no le servirá al profesor ya que pide demostrar las propiedades.

Primero hay que decir que la descripción de un espacio vectorial no es solo la de los vectores, hay que dar cuatro cosas, el espacio de vectores, el cuerpo, la primera operación y la segunda. En este caso sería el espacio vectorial (R, R, +, ·)

Donde R son los números reales, + es la operación suma habitual de los reales y · la operación producto habitual de R.

Que R es un cuerpo no lo vamos a demostrar a estas alturas, es algo que se da por hecho.

Ahora esa suma vectorial que hemos definido (y que coincide con la suma habitual) debería cumplir las propiedades

1) Conmutativa: u+v = v+u   La cumple

2) Asociativa:     (u+v)+w = u+(v+w)    La cumple

3) Elemento neutro:   u+0 = u para todo u de R.   La cumple

4) Elemento opuesto u + (-u) = 0 para todo u de R.  La cumple

Y la operación producto por un escalar (que coincide con la multiplicación habitual) debe cumplir estas condiciones

5) a·(b·u) = (a·b)·u para todos a, b del cuerpo y todo u de los vectores.

Y es algo que se cumple ya que la multiplicación de R es asociativa

6) Existe un elemento 1 del cuerpo tal que 1·u=u para todo u de los vectores.

Es algo que se cumple, ya que R tiene elemento neutro multiplicativo, el 1.

7) Tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

a·(u+v) = a·u + a·v  para todo a del cuerpo y todos u, v de los cvectores

Es algo que se cumple ya que las operaciones hacen que sea lo mismo que la distributiva del producto respecto de la suma en el cuerpo R

8) Tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

(a+b)·u = a·u + b·u   para todo a, b del cuerpo y todo u de los vetores

Es algo que se cumple ya que también coincide con la distributiva dentro de R

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Y esas son las condiciones, como las cumple todas decimos que (R, R, +, ·) es un espacio vectorial.

Pero como te decía al principio, todo cuerpo sobre si mismo que tiene como operaciones vectoriales las mismas que tiene como cuerpo es un espacio vectorial y no es necesaria tanta demostración.

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Y eso es todo.