Como resolver esta integral x*(2+x^2)^2 dx = 1/6(2+x^2)^3+c
Integrales indefinidas por el método de sustitución. Recuerda que ahora todos los resultados están expresados como funciones más la constante de integración “C”
3.
$$\begin{align}&\int x(2+x^2)^2 dx = \frac{1}{6}(2+x^2)^3+c\end{align}$$
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
1
Esta integral se ve fácilmente con un cambio de variable:
$$\begin{align}&\int x(2+x^2)dx=\\&Cambio \ Variable\\&2+x^2=t \Rightarrow2xdx=dt\\&\\&=\int t^2·\frac{1}{2}dt=\\&\\&\frac{1}{2}·\frac{t^3}{3}=\frac{1}{6}(2+x^2)^3+C\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
Vemos que el factor x es la derivada salvo multiplicación por una constante del otro factor (2+x^2), eso es muy bueno porque x será (salvo multiplición por una constante) la diferencial del cambio.
$$\begin{align}&\int x(2+x^2)^2 dx =\\&\\&t=2+x^2\\&dt=2x\,dx\implies x\,dx=\frac {1}{2}dt\\&\\&=\int t^2·\frac {1}{2}dt=\\&\\&\frac 12\int t^2\,dt =\\&\\&\frac 12·\frac{t^3}{3}+C=\\&\\&\frac {1}6t^3+C =\\&\\& \frac 16(2+x^2)^3+C\end{align}$$Y eso es todo.