Representación gráfica de la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea.
Hola me auxiliarían en la resolución del siguiente ejercicio. (Representación de una ecuación Diferencial)
Determinar todas las curvas planas, tales que la recta tangente en cada punto (x,y) pase por el punto (-1, 1)
Gracias y Saludos
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La ecuación de la tangente a una curva en un punto es
y = yo + f'(xo)(x-xo)
Nos dicen que debe pasar por (-1,1) para todos los puntos luego
1 = yo + f'(xo) (-1-xo)
Vamos a usar las variables x, y en lugar de xo, yo
$$\begin{align}&1 = y + \frac{dy}{dx}(-1-x)\\&\\&1-y=-\frac{dy}{dx}(x+1)\\&\\&\frac{dx}{x+1}=-\frac{dy}{1-y}\\&\\&\frac{dx}{x+1}=\frac{dy}{y-1}\\&\\&\int \frac{dx}{x+1}=\int \frac{dy}{y-1}\\&\\&ln(x+1)+lnC=ln(y-1)\\&\\&ln(C(x+1))=ln(y-1)\\&\\&C(x+1)=y-1\\&\\&y=C(x+1)+1\end{align}$$Como podemos ver se trata de un haz de rectas con centro en el punto (-1,1)
Y eso es todo.
