¿Quién sabe aplicar los conocimientos generales de una función de costos, ingresos y utilidades?

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a)

La función de costos totales con costo variable 14 por unidad y costo fijo 2803 es

C(q) = 14q + 2803

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b)

La pendiente de la función anterior es 14 y el precio de venta es un 30% superior. La función de ingresos es el precio por el número de unidades vendidas

I(q) = (14+30% de 14)q

I(q) = (14 + 30·14/100)q

I(q) = (14 + 420/100)q

I(q) = (14+4.2)q

I(q) = 18.2q

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c)

Calculamos primero la función utilidad

U(q) = I(q) - C(q) = 18.2q - (14q + 2803) = 4.2q - 2803

Y la función utilidad promedio es la función utilidad dividida entre q

Up(q) = (4.2q - 2803) / q

Up(q) = 4.2 - 2803/q

Y cuando q = 50 la utilidad promedio es:

Up(50) = 4.2 - 2803/50 = 4.2 - 56.06 = -51.86

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La función cuadrática que nos piden es

$$\begin{align}&U(q)=-\frac{1}{38}q^2+48q-2015\end{align}$$

Y se deja así porque 1/38 no es un decimal exacto y tiene un periodo muy grande

La utilidad máxima se dará cuando la derivada valga 0

$$\begin{align}&U(q)=-\frac{1}{38}q^2+48q-2015\\&\\&U'(q) =-\frac{2}{38}q + 48=0\\&\\&\frac{1}{19}q=48\\&\\&q= 48·19 = 912\\&\\&\text{Y la utilidad máxima será}\\&\\&U(912) =-\frac{1}{38}912^2+48·912-2015=\\&\\&-21888+ 43776 - 2015 = 19873\end{align}$$

Y las cantidades de equilibrio de la empresa se resuelven así

$$\begin{align}&-\frac{1}{38}q^2+48q-2015=0\\&\\&\text{Multiplico todo por (-38)}\\&\\&q^2 -1824q+76570=0\\&\\&\text{y resuelvo la ecuación}\\&\\&q=\frac{1824\pm \sqrt{1824^2-4·76570}}{2}=\\&\\&\frac{1824\pm \sqrt{3326976-306280}}{2}=\\&\\&\frac{1824\pm \sqrt{3020696}}{2}=\\&\\&\frac{1824\pm1738.01496}{2}=\\&\\&42.99252017\quad y \quad 1781.00748\end{align}$$

Si las unidades de producción fueran indivisibles tomaríamos 43 y 1781

UIn saludo.