Demostrar dados x, y E se tiene que

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En el libro que yo estudié estas funciones estaban mucho más simplificadas, casi demasiado, pero es con lo que he vivido.

Sustituimos las funciones trigonométricas por su expresión exponencial en la parte derecha

$$\begin{align}&shx\,chy+chx\,shy =\\&\\&\frac{e^x-e^{-x}}{2}·\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\frac{e^x+e^{-x}}{2}·\frac{e^y-e^{-y}}{2}=\\&\\&\frac{e^xe^y+e^xe^{-y}-e^{-x}e^y-e^{-x}e^{-y}+e^xe^y-e^xe^{-y}+e^{-x}e^y-e^{-x}e^{-y}}{4}=\\&\\&\text{y ahora con cuidado miras cuales se suman y simplifican entre sí}\\&\\&=\frac{2e^xe^y-2e^{-x}e^{-y}}{4}= \\&\\&\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}=sh(x+y)\\&\end{align}$$

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