X+y ≠k(π/2) y k E x se tiene que: tang(x+y)=tanx+tany/1-(tanx)(tany)

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Esta también la abreviabamos de otra forma tgx, tgy, tg(x+y), etc.

El enunciado no está bien. Para poder usar esa fórmula debe cumplirse:

1) Existan tgx y tgy, luego x, y distintos de pi/2 + k·pi para todo k de Z

2) Exista tg(x+y), luego x+y distinto de pi/2 + k·pi para todo k de Z

Debemos partir de las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos.

sen(x+y) = senx·cosy + cosx·seny

cos(x+y) = cosx·cosy - senx·seny

entonces la tg(x+y) será

$$\begin{align}&tg(x+y)=\frac{sen(x+y)}{\cos(x+y)}=\\&\\&\frac{senx·cosy+cosx·seny}{cosx·cosy-senx·seny}=\\&\\&\text{vamos a dividir todo por cosx·cosy}\\&\text{esto puede hacerse si }x,y\neq k\pi+ \frac \pi 2 \forall k \in \mathbb Z\\&\\&=\frac{\frac{senx·cosy}{cosx·cosy}+\frac{cosx·seny}{cosx·cosy}}{\frac{cosx·cosy}{cosx·cosy}-\frac{senx·seny}{cosx·cosy}}=\\&\\&\\&=\frac{\frac{senx}{cosx}+\frac{seny}{cosy}}{1-\frac{senx}{cosy}·\frac{seny}{cosy}}=\\&\\&\\&=\frac{tgx+tgy}{1-tgx·tgy}\end{align}$$