F(x)=x^3-4x definida sobre el intervalo [-2,2] hallar el valor cE (-2,2) que satisface f'(c)=0

Supongo que la E que tienes en el título es el símbolo de pertenencia, si es así entonces lo que debes hacer es:

1. Calcular f'
2. Ver cuando f'(x) = 0
3. corroborar que ese valor pertenezca al intervalo (-2;2)

Sea f(x) = x^3-4x

entonces f'(x) = 3 x^2 - 4

$$\begin{cases}       x_1 = +\sqrt{4/3} \approx 1,1547   \\      x_2 = -\sqrt{4/3} \approx -1,1547   \end{cases}$$

y ambos valores están en el intervalo en cuestión, así que ambas soluciones son válidas

·

Calculamos la derivada

f(x) = x^3-4x

f '(x) = 3x^2 - 4

Hallamos los puntos donde la derivada es 0

$$\begin{align}&3x^2-4 = 0\\&\\&3x^2 = 4\\&\\&x^2 = \frac 43\\&\\&x = \pm \sqrt{\frac 43}=\pm \frac{2}{\sqrt 3}= \pm \frac{2 \sqrt 3}{3}\end{align}$$

Esa es la respuesta correcta que debe ponerse.  Ahora bien, para saber si pertenece al intervalo tenemos que aproximarla con su representacion decimal, asi que tomamos la calculadora y obtenemos

-1.154700538

+1.154700538

Que vemos pertenecen ambas al intervalo (-2, 2)

Luego ambas son soluciones, pero no olvides que lo que debes escribir es

$$\begin{align}&c_1=\frac{2 \sqrt 3}{3}\\&\\&c_2=\frac{2 \sqrt 3}{3}\end{align}$$

Y eso es todo.