Demostración matemática sucesión de números positivos por teorema de Cauchy
Dada una sucesión de números positivos x_n, tal que lim x_n =a, demuestra que el
lim√(n&x_1 x_2⋯x_n=a). (es raíz n-ésima)
El teorema que estamos utilizando es el siguiente teorema de Cauchy
"Dada a_n una sucesión cuyos términos son diferentes de cero: si lim〖|a_(n+1)/a_n |=L〗 ,entonces lim√(n&|a_n | )=L (es raíz n-ésima)
Entonces yo hice lo siguiente
Sea por simplicidad x_n>0 ∀n∈N, ⟹ lim〖x_n 〗=a
〖Sea x〗_n=√xn=√(x_1……x_n=a),dado ε>0 se fija K y M |
a-ε<K<a<M<L+a
∴
∃ p ⇔n≥p⟹K<|a_(n+1)/a_n |<M
De donde se sigue que ∃ r_0<p |n>n_0→L-ε<K^n √α y M√(n&β)<L+ε
∴
n>n_0→L-ε<√(n&α)<L+ε
Se sigue que:
lím√(x_1……x_n=a)
siendo que el
lim〖|a_(n+1)/a_n |=L〗
Sabemos que:
a_n=n^n/n!= n/√(n&n!)
Entonces:
a_(n+1)/a_n =((n+1)^(n+1)/(n+1)!)(n!/n^n )=(((n+1) (n+1)^n)/(n+1)n!)(n!/((n)(n)))=((n+1)/n)^n
Luego, si el límite de |a_(n+1)/a_n |=a,
∴
lim〖√(x_1,x_2,x_3,…,x_n )=a〗
∎
Por el Criterio de Cauchy, concluimos que se trata de una serie convergente
La Maestra me ha puesto: no probaste lo que se pide. Aplica el teorema de Cauchy a una sucesión convenientemente definida a partir de xn.
Maestro Valero me puede Usted ayudar por favor
1 Respuesta
·
Sea x_n una sucesión de números positivos cuyo límite es a
Formamos la sucesión:
$$\begin{align}&b_n=x_1·x_2·x_3···x_n\\&\\&\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n} \right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x_1···x_n·x_{n+1}}{x1···x_n} \right|=\\&\\&\lim_{n\to \infty} |x_{n+1}|=\lim_{n \to \infty}x_{n+1}=\lim_{n \to \infty}x_{n}=a\\&\\&\text{luego por el teorema de Cauchy}\\&\\&\lim _{n\to \infty}\sqrt[n]{|b_n|} = a\\&\\&\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|x_1·x_2····x_n|}=a\\&\\&\text{y como los términos son todos positivos}\\&\\&\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{x_1·x_2····x_n}=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|x_1·x_2····x_n|}=a\end{align}$$Y eso es todo.
