Resolver problema de límites y continuidad cuanto t tiende a infinito
Usted como dueño de una Pyme, ha determinado que meses después de que se inicia la distribución de un nuevo producto, la cantidad de unidades (en miles), está dada por:
Q(t)=(6t^2+5t)/(t+1)^2
Responde a ¿Qué ocurre con la producción en el largo plazo? (Es decir, cuando tiende a infinito.)
Así es como lo resolví:
Q(t)=(〖6t〗^2/t^2 +5t/t^2 )/(t^ /t^2 +5/t^2 )= (6+5/t)/(t+t^2 )
= (6+5/∞)/(∞+∞^2 )^ = (6+0)/(0+0)= (6 )/0
Espero sus comentarios, muchas gracias por su ayuda, saludos.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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No lo has hecho muy bien.
$$\begin{align}&\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}=\\&\\&\text{puedes operar el paréntesis y luego dividir por }t^2.\\&\text{O puedes meter directamente t dentro del paréntesis y}\\&\text{eso equivale a dividir por }t^2\\&\text{De la primera forma es}\\&\\&=\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{t^2+2t+1}=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{6t^2+5t}{t^2}}{\frac{t^2+2t+1}{t^2}} =\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{6+\frac{5}{t}}{1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}} =\frac{6+0}{1+0+0}=\frac 61=6\\&\\&\\&\text{de la segunda forma}\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}=\frac{\frac{6t^2+5t}{t^2}}{\left(\frac{t+1}{t} \right)^2}=\frac{6+\frac{5}{t}}{\left(1+\frac{1}{t} \right)^2}=\\&\\&\frac{6+0}{(1+0)^2}=\frac{6}{1^2}= 6\\&\end{align}$$Y eso es todo.
