¿Pueden demostrar el siguiente ejercicio? D/dx[tan^-1(x)]=1/1+x^2
¿Hola qué tal aquí de nuevo alguien puede ayudar con este ejercicio?
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
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Es la función conocida como arcotangente de x:
f(x)=arctanx=tan^-1(x)
$$\begin{align}&f(x)=tan^-1(x)\\&\\&\Rightarrow x=tan(f(x))\\&\\&Derivando \ los \ dos \ miembros:\\&aplicando \ la \ regla \ de \ la \ cadena \ y \ que\\&D(tanx)=1+tan^2x\\&\\&\\&1=[1+tan^2f(x)]·f'(x)\\&\Rightarrow\\&f'(x)=\frac{1}{1+tan^2f(x)}=\frac{1}{1+x^2}\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Luis Aguilar!
·
La notación de las derivadas como cociente de diferenciales tiene mucho sentido para hacer algunas operaciones de derivadas como si fuesen aritméticas como verás en este caso.
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\&\\&siendo\\&y=tan^{-1}x\\&x=tan\;y\\&\\&tendremos\\&\\&\frac{d(tan^{-1}x)}{dx}=\frac{1}{\frac{d(tan\;y)}{dy}}=\frac{1}{1+(tan\;y)^2}=\\&\\&\text{como }y=tan^{-1}x\\&\\&\frac{1}{1+[tan(tan^{-1}x)]^2}=\frac 1{1+x^2}\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo.