Resolver las expresiones dadas, simplificar y dejar la respuesta con exponentes fraccionarios y positivos

·

A) Es conveniente descomponer los números en factores primos.

Ya sabemos que 81=3^4 por reiteración

192 | 2

  96 | 2

  48 | 2

  24 | 2

  12 | 2 

    6 | 2

    3 | 3

    1

·

192 = 2^6 · 3

....

648 | 2

324 | 2

162 | 2

  81  y la continuación ya la conocemos 3^4

·

648 = 2^3 · 3^4

Colocamos estas descomposiciones dentro de las raíces. Por ser la raíces cúbicas saldrán fuera las bases con sus exponentes divididos por 3

$$\begin{align}&5 \sqrt[3]{81}-7 \sqrt[3]{192}+4 \sqrt[3]{648}=\\&\\&5 \sqrt{3^4}- 7 \sqrt[3]{2^6·3}+4 \sqrt{2^3·3^4} =\\&\\&\text{para dar todos los pasos separamos en productos}\\&\text{con uno de los exponente múltiplo de 3}\\&\\&=5 \sqrt{3·3^3}- 7 \sqrt[3]{2^6·3}+4 \sqrt{2^3·3·3^3} =\\&\\&\text{y sacamos fuera los cubos perfectos}\\&\text{dividiendo el exponete entre 3}\\&\\&= 5·3 \sqrt[3]3-7·2^2 \sqrt[3]3+4·2·3 \sqrt[3] 3=\\&\\&15 \sqrt[3]3 - 28 \sqrt[3]3 + 24 \sqrt[3]3 =11 \sqrt[3]3\end{align}$$

b)

Hay que usar que la raíz cúbica de a por la raíz cúbica de b es la raiz cúbica de (a por b)

$$\begin{align}&\left(\sqrt[3]x+\sqrt[3]y\right)\left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\right)=\\&\\&\sqrt[3]{x^3}-\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2}+\sqrt[3]{yx^2}-\sqrt[3]{y^2x}+\sqrt[3]{y^3}=\\&\\&\text{aunque el orden de factores es distinto}\\&\text{hay términos iguales y con signo opuesto}\\&\text{que se simplican y solo quedan}\\&\\&=\sqrt[3]{x^3} +\sqrt[3]{y^3}= x+y\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.