Apoy en el siguiente problema
Anexo imagen para mejor solución de este, agradezcop mucho su valioso apoyo.
2 Respuestas
No llego a ver si las funciones que pasas son las funciones en sí (I(t); C(t)) o sus derivadas (I'(t); C'(t))
Aclara esto para poder darte una respuesta con mayor precisión
buenas tardes Sr Gustavo estas son las fucniones que indica el problema, agradezci su valioso apoyo. saludos
Ok, efectivamente te están dando I'(t) y C'(t)
Lo primero que voy a calcular es I(t), C(t) y U(t) (que es U(t)=I(t)-C(t))
$$\begin{align}&I'(t) = 14-t^{1/2}\\&I(t) = \int(14-t^{1/2})\;dt = 14t-{t^{3/2}\over{3\over2}}+K_1\\&I(t) = 14t-{2t^{3/2}\over3}+K_1\\&\\&C'(t) = 2+3t^{1/2}\\&C(t) = \int(2+3t^{1/2})\;dt = 2t+{3t^{3/2}\over{3\over2}}+K_2\\&C(t) = 2t+2t^{3/2}+K_2\\&\end{align}$$Como no te dicen nada de las constantes de integración, voy a asumier que ambas son cero, luego
$$\begin{align}&I(t) = 14t-{2t^{3/2}\over3}\\&C(t) = 2t+2t^{3/2}\\&U(t) = I(t)-C(t) = (14t-{2t^{3/2}\over3})-(2t+2t^{3/2})\\&U(t) = 12t -{8t^{3/2}\over3}\\&\end{align}$$a. Seguirá siendo rentable mientras U(t) > 0; luego dejará de serlo cuando U(t)=0
$$\begin{align}&U(t) = 0=12t -{8t^{3/2}\over3}\\&12t = {8t^{3/2}\over3}\\&24t = 8t^{3/2}\\&3t = t^{3/2}\\&0 = t^{3/2}-3t\\&0=t(t^{1/2}-3)\\&Luego, t=0 \lor (t^{1/2}-3)=0 \rightarrow t^{1/2}=3 \rightarrow t = 9\\&\\&\\&\end{align}$$o sea que la respuesta es t = 9 años
b. La utilidad acumulada la podés calcular integrando U(t) entre 0 y 9; o sea
$$\begin{align}&\int_{0}^{9}(12t -{8t^{3/2}\over3})\;dt=\\&({12t^2 \over 2} - {8 \over 3}{t^{5/2}\over {5\over2}}) \Big ]_{0}^{9} = \\&(6t^2 - {16 \over 15}{t^{5/2}}) \Big ]_{0}^{9} = \\&(6(9)^2 - {16 \over 15}{(9)^{5/2}}) -(0) = 226.8\\&\\&\\&\end{align}$$
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La función U(t) es la utilidad acumulada desde el momento t=0 al momento t. No es como la función U(q) que representa la utilidad que se obtiene para un determinado número de unidades fabricadas.
La máquina no deja de ser rentable cuando la utilidad acumulada pasa a ser negativa, deja de ser rentable cuando la utilidad puntual respecto del tiempo pasa a ser negativa.
Luego el momento de jubilarla se calcula directamente con las funciones derivadas que nos han dado.
U'(t) = I'(t) - C'(t) = 0
U'(t) = 14 - t^(1/2) - (2 + 3t^(1/2)) = 0
U'(t) = 12 - 4t^(1/2) = 0
4t^(1/2) = 12
t^(1/2) = 3
t = sqrt(3) = 1.732050807568877
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b)
La utilidad acumulada es la integral de la utilidad marginal durante ese tiempo
$$\begin{align}&U=\int_0^{\sqrt 3}(12 - 4t^{1/2})dt=\\&\\&\left[12t-4 \frac{t^{3/2}}{\frac 32} \right]_0^{\sqrt 3}=\\&\\&\left[12t-8 \frac{t^{3/2}}{3} \right]_0^{\sqrt 3}=\\&\\&12 \sqrt 3-\frac{8·(\sqrt 3)^{3/2}}{3}=\\&\\&12 \sqrt 3- \frac{8·3^{3/4}}{3}\approx\\&\\&14.70592420561379\\&\\&\end{align}$$Como son miles de pesos serán
$14705.92
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Y eso es todo.