¿Cuál es la derivada de D(q)=-20q.In(q/500)?

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Tendrás que usar la derivada de una constante por una función, la derivada del producto de dos funciones y la regla de la cadena.

$$\begin{align}&[k·f(x)]' = k·[f(x)]'\\&\\&[f(x)·g(x)]'= f'(x)·g(x)+f(x)·'(x)\\&\\&(ln\,u)' = \frac{1}{u}·u'\\&\\&\\&\left[-20q·ln\left(\frac{q}{500}\right)\right]'=\\&\\&-20\left[q·ln\left(\frac{q}{500}\right)\right]'=\\&\\&-20\left[q'·ln\left(\frac q{500}  \right)+q·\left[ln\left(\frac{q}{500}\right)  \right] ' \right]=\\&\\&-20\left[1·ln\left(\frac q{500}  \right)+q·\frac{1}{\frac{q}{500}}·\left(\frac{q}{500}\right)' \right]=\\&\\&\text{haré rapida la simplificación }q·\frac{1}{\frac{q}{500}}=500\\&\\&-20\left[ln\left(\frac q{500}  \right)+500·\frac 1{500}q' \right]=\\&\\&-20\left[ln\left(\frac q{500}  \right)+1·1 \right]=\\&\\&-20\left[ln\left(\frac q{500}  \right)+1 \right]=\\&\\&\end{align}$$

Esos son todos los pasos, naturalmente tu puedes simplificarlos todos lo que quieras siempre que te veas capacitado y le parezca bien al profesor, tu fíjate como lo hace él.

Nuevamente, acá lo que sabemos es que

$$\begin{align}&f(x) = a\ln(bx) \rightarrow\\&f'(x) = {a \over bx}b = {a \over x}\\&Luego\\&D(q) = -20q\ln(q/500)\\&Regla\;del\; producto\;y\;de\;la\; cadena\\&D'(q)=-20(\ln(q/500)+q{1 \over {q\over500}}*{1\over500})=-20(\ln(q/500)+1)\\&\end{align}$$