Explicaciòn de como resolver estos lìmites:

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Candy!

·

1)

Se necesita saber una fórmula notable (aunque no tan notable como otras)

$$\begin{align}&a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\&\\&\text{traducida a raíces cúbicas es}\\&\\&a-b = \left(\sqrt[3]a -\sqrt[3]b\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)\\&\\&\sqrt[3]a -\sqrt[3]b=\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\\&\\&\text{luego el límite es}\\&\\&\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3] x-1}{x-1}=\\&\\&\lim_{x\to 1}\frac{\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}}}{x-1}=\\&\\&\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1}}= \frac {1}{1+1+1}=\frac 13\end{align}$$

2)

Se hace ese cambio de variable porque es lo oportuno para resolver el límite.

Hay un límite que se da por conocido y es muy útil para calcular otros que es

$$\begin{align}&\lim_{x\to0}\frac{sen\,x}{x}=1\\&\\&\text{se puede generalizar para una función}\\&\\&\lim_{f(x)\to 0}\frac{sen\,[f(x)]}{f(x)}=1\end{align}$$

Y aquí lo que han hecho es llamar t a la función f(x)=1/x para simplificar al máximo.

Cuando x tiende a infinito tendremos que

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}t=\lim_{x\to\infty}\frac 1x=\frac{1}{\infty}=0\\&\\&\text{luego}\\&x\to \infty \implies t\to 0\\&\\&\text{Con lo cual el límite que piden queda así}\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{sen\left(\frac 1x  \right)}{\frac 1x}=\lim_{t\to 0}\frac{sen t}{t}= 1\end{align}$$

Y eso es todo.