Producto de senos y cosenos de ángulos diferentes
- Sean dos ángulos alfa, beta en [0,2Pi] con beta menor que alfa, demostrar que
- Seno de alfa por seno de beta=1/2[seno(alfa+beta)+seno(alfa-beta)]
- Coseno de alfa por seno de beta=1/2[seno(alfa+beta)+seno(alfa-beta)]
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Respuesta de Lucas m
2
Las fórmula primera está mal copiada
$$\begin{align}&1.- Sabemos\\&\cos( \alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta - sen \alpha sen \beta\\&\cos( \alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta + sen \alpha sen \beta\\&\\&Restando \ las \ dos \ expresiones:\\&\cos( \alpha+\beta)-\cos( \alpha-\beta)=-2 sen \alpha sen \beta\\&\\&Luego\\&sen \alpha sen \beta=\frac{-1}{2} [\cos( \alpha+\beta)-\cos( \alpha-\beta)]\\&\\&sen \alpha sen \beta=\frac{1}{2} [\cos( \alpha-\beta)-\cos( \alpha+\beta))]\\&\\&\\&2.- Sabemos\\&\\&sen( \alpha+\beta)=sen \alpha \cos \beta+\cos \alpha sen \beta\\&sen( \alpha-\beta)=sen \alpha \cos \beta-\cos \alpha sen \beta\\&Restando:\\&sen( \alpha+\beta)-sen( \alpha-\beta)=2cos \alpha sen \beta\\&Luego:\\&\\&\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[sen( \alpha+\beta)-sen( \alpha-\beta)]\end{align}$$
La última fórmula es
$$\begin{align}&\cos \alpha sen \beta\end{align}$$
