¿Cómo quedan las siguientes integrales?

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Haremos un cambio de variable en la primera.

$$\begin{align}&\int \frac{8x}{3 \sqrt[3]{7-2x^2}}dx=\\&\\&t=7-2x^2\\&dt=-4x\,dx\implies8x\,dx=-2dt\\&\\&=\frac 13\int \frac 1{\sqrt[3] t}(-2)dt=\\&\\&-\frac 23\int t^{-1/3}dt=\\&\\&-\frac 23·\frac{t^{2/3}}{\frac 23}+C =\\&\\&-\sqrt [3]{t^2}+C = \\&\\&-\sqrt[3]{(7-2x^2)^2}+C\end{align}$$

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En la segunda, para que dentro quede la derivada de e^(0.05t^2) debe quedar

0.1·te^{0.05t^2}

luego no solo vamos asacar fuera la constante 4000 sino 40000

$$\begin{align}&\int_0^54000te^{0.05t^2}dt=\\&\\&40000 \int_0^50.1te^{0.05t^2}dt=\\&\\&40000·e^{0.05t^2}|_0^5=\\&\\&40000(e^{0.05\,·\,5^2}-e^0)=\\&\\&40000(e^{1.25}-1)\approx \\&\\&99613.71829847366\\&\\&\end{align}$$

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Y eso es todo.

Para el segundo ejercicio, tal vez sea más sencillo quedarte directamente con la sustitución, y cambiar los límites de integración. Te dejo como sería de este modo

$$\begin{align}&\int_{0}^{5} 4000te^{0.05t^2}\;dt\\&(sustitucion\;u= 0.05t^2)\\&du = 0.05*2t\;dt\\&{du \over 0.1} = t\;dt\\&10du= t\;dt\\&t=0 \rightarrow u = 0.05*0^2 = 0\\&t=5 \rightarrow u = 0.05*5^2 = 1.25\\&\int_{0}^{1.25} 4000e^u*10\;du=40000 e^u \Big ]_{0}^{1.25}= \\&=40000(e^{1.25}-1) \approx 99613.7\\&\end{align}$$

Obviamente da el mismo resultado, pero queda mucho más sencillo el cálculo