Más problemas integral indefinida y por sustitución
f) La integral que va de 6 a 2 x/la raíz5x^2+1 dx
Determinar el método de integración que corresponde a cada caso
c) La integral 8x^2(4x^3-5)^4dx
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$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x\,dx}{\sqrt{5x^2+1}} =\\&\\&t=5x^2+1\\&dt=10x\,dx\implies x\,dx=\frac{1}{10}dt\\&x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&x=6\implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\int_{21}^{181}\frac 1{10}·\frac{1}{\sqrt t}dt=\\&\\&\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-\frac 12}dt=\\&\\&\left.\frac 1{10} \frac{t^{\frac 12}}{\frac 12} \right|_{21}^{181}=\left.\frac{\sqrt t}{5}\right|_{21}^{181}=\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\end{align}$$Y la otra
$$\begin{align}&\int 8x^2(4x^3-5)^4dx=\\&\\&t=4x^3-5\\&dt=12x^2dx\implies x^2dx=\frac 1{12}dt\\&\\&=8\int \frac 1{12}t^4dt=\frac{8}{12}·\frac{t^5}{5}+C=\\&\\&\frac 2{15}(4x^3-5)^5+C\end{align}$$Y eso es todo.
La integral del primer ejercicio no tiene nada que ver que por que la dx incluye a las dos no solo al numerador
La dx es como un factor. Una integral es una suma de productos. Se divide el intervalo en trozos de igual longitud y cada producto es el valor de la función en un punto del trozo por la longitud del trozo.
$$\begin{align}&\lim_{n\to \infty} \sum_{1}^n\left\{f\left[a+i·\left(\frac{b-a}{n} \right)\right]·\left(\frac{b-a}{n}\right)\right\}=\int_a^b f(x)dx\end{align}$$El dx representa al (b-a)/n de la derecha. Y como es un factor da lo mismo escribirlo multiplicando solo al numerador o a todo, es cuestión de estética. Yo si el numerador es 1 o algo de poca monta lo pongo en el numerador y además se ahorra espacio.
$$\begin{align}& \end{align}$$Pues de la forma que está escrito se puede llegar a prestar a equivocación; por las dudas voy a reescribir las funciones que ponés y en caso que sean distintas avisa:
$$\begin{align}&f) \int_6^2 x \sqrt{5x^2+1}\ dx\\&(sustitución\ u=5x^2+1)\\&du = 10x\ dx\\&{du \over 10}=x \ dx\\&\int_6^2 \sqrt{u}\ {du \over 10} = {1 \over 10} {u^{3/2} \over {3 \over 2}} \Big|_6^2=\\&{2 \over 30} (5x^2+1)^{3/2} \Big|_6^2={1 \over 15} \Big((5*2^2+1)^{3/2}-(5*6^2+1)^{3/2}) \Big )={1 \over 15} (5*2^2+1)^{3/2}-(5*6^2+1)^{3/2}) = -155,9\\&...\\&c) \int 8x^2(4x^3-5)^4\ dx=\\&(sustitucion\ u=4x^3-5)\\&du=12x^2\ dx\\&{du \over 12}= x^2\ dx\\&\int 8 u^4 {du \over 12}= {2 \over 3}{u^5 \over 5}+C={2(4x^3-5) \over 15}+C\\&\end{align}$$Me llama la atención que los límites de integración en el ejercicio f) están al revés, en caso que estén intercambiados, simplemente dalos vueltas y el resultado en realidad te va a quedar positivo.