Problema de integración por sustitución trigonométrica
Resolver PASO A PASO el siguiente ejercicio.
$$\begin{align}&\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Esta integral por sustitución trigonométrica es un buen castigo.
En las integrales con
$$\begin{align}&\sqrt{m^2-n^2x^2}\\&\\&\text{el cambio}\\&\\& x=\frac mnsec\,t\\&\\&\text{hace saltar por los aires la raíz cuadrada}\\&\\&\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-25}}=\\&\\&x=5\,sec\,t\\&dx=5\,sec\,t·tg\,t\;dt\\&\\&=\int \frac{5sec\,t·tg\,t}{\sqrt{25sec^2t-25}}dt=\\&\\&\int \frac{5sec\,t·tg\,t}{5 \sqrt{sec^2t-1}}dt=\\&\\&\int \frac{sec\,t·tg\,t}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2t}-1}}dt=\\&\\&\int \frac{sec\,t·tg\,t}{\sqrt{\frac{1-\cos^2t}{\cos^2t}}}dt=\\&\\&\int \frac{sect·tgt}{\frac{sent}{cost}}dt=\\&\\&\int \frac{sec\,t·tg\,t}{tg\, t}dt=\\&\\&\int sec\,t \;dt=\int \frac{1}{cost}dt=...\end{align}$$Y lo que queda aun es largo.
¿Seguro qué es con cambio trigonométrico?
¿No será trigonométrico hiperbólico o hiperbólico a secas?
No es la primera vez que mandan esta integral, y nunca la he podido terminar por este método.
Por hiperbólico es casi inmediata ya que
$$\begin{align}&\frac{d}{dx}arg\,ch\;x= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\&\\&\int \frac {dx}{\sqrt{25-x^2}}=\int \frac 15 \frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac x5\right)^2}}=\\&\\&arg \,ch\left( \frac x5\right)+C=ln\left(\frac x5+\sqrt{\left( \frac x5\right)^2-1}\right)+C=\\&\\&ln\left(\frac {x+\sqrt{x^2-25}}{5}\right)+C=\\&\\&ln\left(x+\sqrt{x^2-25}\right)-ln\,5+C=\\&\\&ln\left(x+\sqrt{x^2-25}\right)+C\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no entendiste algo mira en esta página
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica
Con la salvedad de que ellos llaman
Arg cosh(x)
O lo que yo llamo
arg ch x
