Análisis marginal : utilidad máxima y valor óptimo
Usted ha determinado que el comportamiento de sus utilidades, en función del precio de su producto, está dado por la expresión,
$$\begin{align}&U(p)=400(15-p)(p-2)\end{align}$$, donde la utilidad está dada en cientos de pesos y el precio está limitado por el intervalo . Mediante derivación, determina el precio al que la utilidad es máxima, y calcule ese valor óptimo.
2 Respuestas
La derivada de la función que te dan es:
$$\begin{align}&U(p) = 400(15-p)(p-2)\\&U'(p)=400 \Big((-1)(p-2)+(15-p) \Big)\\&U'(p)=400 (-p+2+15-p)\\&U'(p)=400 (-2p+17)\\&U'(p)=0 \rightarrow -2p+17=0 \rightarrow p = {17 \over 2}= 8,5\\&Calculemos\ U''(p)\\&U''(p)=400 (-2) = -800\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Como U''(p) es siempre negativa, en p=8,5 hay máximo, para ver cuanto es la utilidad calculamos U(8,5)
U(8,5) = 400(15-8,5)(8,5-2) = 16900
·
U(p)=400(15-p)(p-2)
Calculamos la derivada por el método de la multiplicación e igualamos a cero
U'(p) = 400(-p+2+15-p) = 400(-2p+17) = 0
-2p + 17 = 0
2p=17
p=8.5
8.5 pertenece a [5, 15] luego sirve
Normalmente cuando te piden un máximo el punto va a ser un máximo, pero por si acaso lo comprobamos con la derivada segunda
U''(p) = -800
Es negativa luego es un máximo
Y el valor de la utilidad máxima será
U(8.5) = 400(15-8.5)(8.5-2) = 400 · 6.5 · 6.5 = 16900
·
Y eso es todo.