Derivada del precio respecto a cantidad demandada
La derivada del precio respecto a la cantidad demandada de un cierto producto es:
$$\begin{align}&dp/dq=-100/(q+2)^2 \end{align}$$- Calcule la rapidez a la que cambia el precio cuando se venden 3 piezas.
- Considerando la constante de integración como cero, determina el precio al que se demandan 3 unidades.
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola César!
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La rapidez a la que cambia el precio en un punto es la derivada del precia respecto de q en ese punto. Y como ya nos dan la derivada la evaluamos en ese punto
$$\begin{align}&\left.\frac{dp}{dq}\right|_{q=3}=-\frac{100}{(3+2)^2}=-\frac{100}{5^2}=\frac {100}{25}=-4\end{align}$$2)
Y para calcular el precio debemos calcular la integral de su derivada, como nos dicen que la constantre de integracón es 0 no vamos ni a escribirla, es el sueño de todo matemático.
$$\begin{align}&p(q)=\int-\frac{100}{(p+2)^2}dp= \frac{100}{p+2}\\&\\&\text{Es directa, a mi me la enseñaron}\\&\text{como directa }\left(\frac 1u\right)' = -\frac{u'}{u^2}\\&\\&p(3) = \frac{100}{3+2}=\frac{100}{5}=20\end{align}$$·
Y eso es todo.
1 respuesta más de otro experto
César, la velocidad a la que cambia el precio para 3 piezas es directamente la derivada del precio respecto a la cantidad (P'(q) o dp/dq), como esta ecuación ya te la dan, directamente hay que evaluarla en ese punto. Luego:
$$\begin{align}&1.\\&{dp \over dq} = P'(3) = {-100 \over (3+2)^2}= {-100 \over 25} = -4\\&...\\&2. P(q) = \int P'(q) dq = \int {-100 \over (q+2)^2} = -100 \int (q+2)^{-2} dq = \\&=-100 (q+2)^{-1}(-1) + C\\&Reacomodando \ y\ como\ la\ constante\ es\ cero\\&P(q) = {100 \over q+2}\\&Para\ q=3\\&P(3) = {100 \over 3+2} = {100 \over 5} = 4\end{align}$$
César: ojo que hay un error (más que evidente! En la división final). 100 / 5 = 20