U(p)=400(15-p)(p-2), donde la utilidad está dada en cientos de pesos y el precio está limitado por el intervalo 5≤p≤15.
Mediante derivación, determina el precio al que la utilidad es máxima, y calcule ese valor óptimo
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Para hallar la utilidad máxima debés hallar la derivada e igualar a cero (y luego ver si es máximo o mínimo). Veamos esto
$$\begin{align}&U(p) = 400(15-p)(p-2)\\&U´(p) =400 \Big((-1)(p-2)+(15-p)(1) \Big)=\\&=400(-p+2+15-p)\\&U'(p)=400(-2p+17)\\&U'(p)=0 \Rightarrow p={17 \over 2}=8,5\\&\end{align}$$Como p está en el intervalo dado luego, es válido.
Lo que queda ver es si efectivamente es un máximo, para esto calculamos U''(x) y la evaluamos en el punto
U''(p)=400(-2) = -800
Como U''(p) es menor que cero para todo p, donde hallemos un punto crítico será máximo, luego p=8,5 es máximo.
La utilidad máxima será
U(8,5) = 400(15-8,5)(8,5-2)=16900
María Teresa, veo que tienes muchas preguntas pendientes de calificar.
Antes de seguir preguntando te pido que dediques 5 minutos para cerrar todas las preguntas que aún no calificaste.