Identidades Trigonométricas de suma y producto
Buenas noches me podrían explicar las siguientes identidades trigonométricas
$$\begin{align}&Sea (𝛼 ∈ ℝ: 𝛼 ≠ 𝜋 2 + 𝑛𝜋; 𝑛 ∈ ℤ), entonces:\\&\\&a. 𝑠𝑒𝑛 (𝛼) + \cos(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 (𝛼)(1 + 𝑡𝑎𝑛 (𝛼)).\\&\\&b.(1 − 𝑠𝑒𝑛^2 (𝛼))(1 + tan^2 (𝛼)) = 1\\& \end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Debes hacer operaciones y sustituciones hasta que se vea claro que los dos lados son iguales para todo alfa, y entonces será una iodentidad, o no lo son y entonces no habrá identidad.
Son sencillas, simplemente debes aplicar que
$$\begin{align}&tg\;\alpha=\frac{sen\,\alpha}{\cos \alpha}\\&\\&\\&a)\quad\\&\\&sen\,\alpha+\cos\.\alpha =\cos\,\alpha(1+tg\,\alpha)\\&\\&sen\,\alpha+\cos\,\alpha =\cos\,\alpha\left(1+\frac{sen\,\alpha}{\cos \alpha}\right)\\&\\&sen\,\alpha+\cos\,\alpha =\cos\,\alpha+\frac{\cos \alpha ·sen\,\alpha}{\cos \alpha}\\&\\&sen\,\alpha+\cos\,\alpha =\cos\,\alpha+sen \,\alpha\\&\\&\text{Lo cual es una identidad}\\&\\&\\&\\&b) \\&(1-sen^2\alpha)(1+tg^2\alpha) = 1\\&\\&\text{tengamos en cuenta que }\\&1=sen^2\alpha+\cos^2\alpha\\&\text{luego}\\&1-sen^2\alpha=\cos^2\alpha\\&\\&\cos^2\alpha\left(1+\left(\frac{sen\,\alpha}{\cos\,\alpha}\right)^2 \right)=1\\&\\&\cos^2\alpha\left(1+\frac{sen^2\,\alpha}{\cos^2\,\alpha} \right)=1\\&\\&\cos^2\alpha + \frac{\cos^2\alpha·sen^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1\\&\\&\cos^2\alpha+sen^2\alpha=1\\&\\&\text{lo cual es cierto siempre}\\&\text{luego es una identidad}\end{align}$$
