Función trascendente: demostrar la expresión dados ...

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El enunciado no es del todo correcto, seria:

$$\begin{align}&\text{Demuestre que dados x, y }\in \mathbb R\text{ tales que}\\&x,\; y,\;x+y\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \quad con \;k\in \mathbb Z\\&\text{se tiene }\\&\\&tg(x+y)=\frac{tg\,x+tg\,y}{1-tg\,x·tg\,y}\\&\\&\text{Partimos de:}\\&\\&sen(x+y) = senx·cosy + cosx·seny\\&  \cos(x+y) =cosx·cosy + senx·seny\\&  \\&  Entonces \\&  tg(x+y) = \frac{sen(x+y)}{\cos(x+y)}=\\&  \\&  \frac{senx·cosy + cosx·seny}{cosx·cosy + senx·seny}=\\&  \\&  \text{Y ahora es donde viene el truco de magia}\\&  \text{Dividimos numerador y denominador por }\\&  cosx·cosy\\& \text{como }x,y\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\implies cosx·cosy\neq 0\\& \text {y puede hacerse la división}\\&  \\&  =\frac{\frac{senx·cosy}{cosx·cosy} + \frac{cosx·seny}{cosx·cosy}}{\frac{cosx·cosy}{cosx·cosy} + \frac{senx·seny}{cosx·cosy}}=\\&  \\&  \text{y vamos simplifcando los 4 cocientes}\\&  \\&  =\frac{\frac{senx}{cosx} + \frac{seny}{cosy}}{1 + \frac{senx}{cosx}·\frac{seny}{cosy}}=\\&  \\&  \text{y eso son todo tangentes}\\&  \\&  = \frac{tgx+tgy}{1+tgx·tgy}\end{align}$$

Se hizo uso de que x, y no eran ni pi/2 ni 3pi/2 ni ángulos equivalentes en un momento de la demostración.  Y no puede ser tampoco x+y = pi/2, 3pi/2 o equivalentes porque entonces las tangentes de x y y son inversas con lo cual tgx·tgy=1 y en el denominador queda 1-1=0 y la fórmula no está definida.

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Y eso es todo.