Cuales son las infinitas solcuiones

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No entiendo la ecuación, ¿es esta?

$$\begin{align}&\frac{dx}{dt}=\frac{|x|}{2}\end{align}$$

¡Gracias! es modulo elevado a 1/2

Resolvamos la ecuación sin ese molesto valor absoluto.

$$\begin{align}&\frac{dx}{dt}=x^{1/2}\\&\\&x^{-1/2}dx=dt\\&\\&2x^{1/2}=t+C\\&\\&x=\left(\frac{t+C}{2}\right)^2\\&\\&x(0)=0\implies C=0\implies x=\frac{t^2}{4}\\&\\&\text{Para la ecuación con valor absoluto}\\&\text{contaremos también con }x=-\frac{t^2}{4}\\&|x|^{1/2}=\left|\pm \frac{t^2}{4}  \right|^{1/2}=\frac{|t|}{2}\\&\\&\frac{dx}{dt}=\pm \frac t2=\frac{|t|}{2}\\&\\&x=\left\{\frac{t^2}{4} \quad\;\text{ }\text{ } x\ge0 \\ \atop -\frac{t^2}{4}\quad x\lt0 \right.\end{align}$$

Pues me sale una función única, si hubieran valido la positiva y negativa en cualquier punto si que habría infinitas funciones pero como para todo valor de t negativo debe ser x negativo y para todo valor de t positivo debe ser x positivo solo hay una función.

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Revisa el enunciado y si es este que yo entendí no hay infinitas soluciones. Fíjate también que puedes votar excelente la respuesta que es una opción un poco escondida y puede pasar desapercibida.

$$\begin{equation}\varphi_{c}(x) = \left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{(t+c)^2}{4}  \text{si } t\geq \\0 \text{ si } t\leq c\end{array}\right.\end{equation}$$

\

Esa función no esta bien definida, debes decidirte por un valor para t=c porque no es continua, el límite por la izquierda es 0 y por la derecha es (c+c)^2 / 4 = 4c^2 / 4 = c^2

Y si no es continua no es derivable por lo que la ecuación diferencial es falsa en t=c

Probablemente quieras decir:

$$\begin{equation}\\\forall c\le0\\\\·\\\varphi_{c}(x) = \left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{(t-c)^2}{4}  \text{si } t\ge c \\0 \text{ si } t\lt c\end{array}\right.\end{equation}$$

Ahora si que es continua y derivable en t=c

Perdón, es:

$$\begin{equation}\\\forall c\ge0\\\\·\\varphi_{c}(x) = \left\lbrace\begin{array}{ll}\frac{(t-c)^2}{4}  \text{si } t\ge c \\0 \text{ si } t\lt c\end{array}\right.\end{equation}$$