¿Cuál es el resultado de la siguiente integral?
$$\begin{align}&\int(1+tan^2x)dx\end{align}$$¿cómo se integra esta expresión?
2 respuestas
Respuesta de Lucas m
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Pedro Juarez!
Es inmediata, es la otra forma de escribir la derivada de la tangente:
$$\begin{align}&D(tanx)=\frac{1}{\cos^2x}=\frac{sen^2x+\cos^x}{\cos^2x}=\frac{sen^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=\\&\\&(\frac{senx}{cosx})^2+1=tan^2x+1\\&Luego\\&\\&\int(1+tan^2x)dx=tanx+C\end{align}$$
En la segunda fracción quise poner
$$\begin{align}&sen^2x+\cos^2x\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Podría considerarse inmediata. A mi me enseñaron que la derivada de la tangente era 1+tg^2(x) luego la integral es la tangente tgx.
Si no te han enseñado eso te habrán enseñado solo que la derivada de la tangente es la secante al cuadrado, entonces:
$$\begin{align}&\int(1+tg^2x)dx =\\&\\&\int \left(1+\frac{sen^2x}{\cos^2x} \right)dx=\\&\\&\int \left(\frac{\cos^2x+sen^2x}{\cos^2x} \right)dx=\\&\\&\int \frac{dx}{\cos^2x} =\int sec^2x dx=tgx+C\\&\end{align}$$Y si no reconoces que la derivada de la tangente es (1+tg^2(x)) ó sec^2(x) va a ser bastante difícil que logres integrarla.
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Y eso es todo.