Tengo una duda de grupos de álgebra abstracta
Agradecería mucho la ayuda que me puedan brindar, por que no tengo idea de como hacer el siguiente ejercicio:
Pruebe que el conjunto de todos los números racionales de la forma
$$\begin{align}&3^m6^n; m,n números enteros\end{align}$$es un grupo bajo la multiplicación.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
Partiendo del grupo Q-{0} con la multiplicación, demostraremos que este que nos dan es un subgrupo de él, y por lo tante es un grupo.
El teormea de caracterización de subgrupos dice que un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo si y solo si no es vacío y para todo par de elementos a y b de H se cumple a·b^-1 pertenece a H.
Que es no vacío es evidente, el elemento 3^1·6^1 = 3·6 = 18 pertenece al conjunto
Dados dos elementos
$$\begin{align}&a=3^m6^n\\&b=3^p6^q\\&b^{-1}=3^{-p}6^{-q}\\&\\&ab^{-1}=3^m6^n·3^{-p}6^{-q}=\\&\\&\text{como la multiplicación en Q es conmutativa}\\&\\&3^{m}3^{-p}·6^n6^{-q}=3^{m-p}6^{n-q} \in H\\&\end{align}$$Luego H es subgrupo de Q y es un grupo.
·
Y eso es todo.
