Como se realizan estas demostraciones de combinaciones
Como demuestro esto ayuda por favor no se como se determina eso!
3 respuestas
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Llego el último y la demostración es única, pero allá va.
$$\begin{align}&\text {Por definición}\\&\binom m n=\frac{m!}{n!(m-n)!}\\&\\&\text{luego}\\&\binom{n+r-1}{r-1}=\frac{(n+r-1)!}{(r-1)!\;[n+r-1-(r-1)]!}=\\&\\&\frac{(n+r-1)!}{(r-1)!\;(n+r-1-r+1)!}=\frac{(n+r-1)!}{(r-1)!\;n!}=\\&\\&\frac{(n+r-1)!}{n!\;[(n+r-1)-n]!}=\binom{n+r-1}{n!}\end{align}$$En el b no sirve la combinatoria normal, hay que definir el número combinatorio de esta forma
$$\begin{align}&\binom mn=\frac{m(m-1)(m-2)···(m-n+1)}{n!}\\&\\&\text{fijarse que son n factores}\\&\\&\binom{n+r-1}{n}=\frac{(n+r-1)(n+r-2)···(r+1)r}{n!}\\&\\&(-1)^n\binom{-r}{n}=(-1)^n\frac{-r(-r-1)···(-r-n+2)(-r-n+1)}{n!}=\\&\\&\text{son los mismos con signo opuesto y son n}\\&\\&(-1)^n·(-1)^n ·\frac{r(r+1)···(r+n-2)(r+n-1)}{n!}=\\&\\&(-1)^{2n}·\frac{(n+r-1)(n+r-2)···(r+1)r}{n!}=\\&\\&\frac{(n+r-1)(n+r-2)···(r+1)r}{n!} \\&\end{align}$$Luego son lo mismo.
Aquí aparece esa definición especial de los números binómicos cualesquiera
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio#Teorema_generalizado_del_binomio_.28Newton.29
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Y eso es todo.
¡Gracias! Por su ayuda
No olvides votar, ya vi el agradecimiento y estamos esperando la votación.
Debes votar a todos los expertos que han contestado. Yo no me arriesgaría a contestar preguntas de quien luego no sé si me va a votar, luego no me parecería bien que no votases a Lucas y Gustavo. Además son buenos expertos y han hecho todo lo que sabían, hay que votar excelente salvo que haya un caso manifiesto de incompetencia o intromisión.
1.- a)
$$\begin{align}&Definición:\\&\binom {n}{m}=\frac{n!}{m!·(n-m)!}\\&\\&\binom {n+r-1}{r-1}=\frac{(n+r-1)!}{(r-1)!·[n+r-1-(r-1)]!}=\\&\\&\frac{(n+r-1)!}{(r-1)!·n!}\\&\\&\binom {n+r-1}{n}=\frac{(n+r-1)!}{(n+r-1-n)!·n!}=\frac{(n+r-1)!}{(r-1)!·n!}\\&Luego\\&\\&\binom {n+r-1}{r-1}=\binom {n+r-1}{n}\end{align}$$
la parte no la doy para hacer ya la a la logre realizar
Igualmente vota la respuesta
Vota a los dos expertos, por supuesto
Vamos a desarrollar los combinatorios a ver que dan...
$$\begin{align}&a)\\&{n+r-1 \choose r-1} {}_=^? {n+r-1 \choose n}\\&{n+r-1 \choose r-1} = {(n+r-1)! \over (n+r-1-(r-1))!(r-1)!}={(n+r-1)! \over n!(r-1)!}\\&\land\\&{n+r-1 \choose n}={(n+r-1)! \over(n+r-1-n)!n!}={(n+r-1)! \over(r-1)!n!}\\&Por\ lo\ tanto\ son\ iguales!\\&\\&\\&\end{align}$$Te dejo el a), porque en el b) no llego a nada parecido...