¿Cómo se realiza la siguiente integral por sumas de Riemann?

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La suma de Riemann es el límite de un suma infinita.

$$\begin{align}&S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i\\&\\&\text{siendo }P=\{a=x_o,x_1,x_2,...,x_n=b \} \\&\text{una partición del intervalo }[a,b]\\&\\&\text{haciendo iguales los }\Delta x_i=x_i-x_{i-1} \text{ tenemos}\\&\\&S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f\left(a+i·\frac{b-a}{n}\right)·\frac{b-a}{n}=\\&\\&\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}·\sum_{i=1}^n f\left(a+i·\frac{b-a}{n}\right)\\&\\&\text{en nuestro caso}\\&\\&\frac{b-a}{n}=\frac{2-(-1)}{n}=\frac 3n\\&\\&f\left(a+i·\frac{b-a}{n}\right)=f\left(-1+\frac{3i}n  \right)=\\&\\&2\left(-1+\frac{3i}n  \right)^2-5\left(-1+\frac{3i}n  \right)=\\&\\&2-\frac{12}{n}i+\frac{18}{n^2}i^2+5-\frac{15}{n}i=\\&\\&7-\frac{27}{n}i+\frac{18}{n^2}i^2\\&\\&\text{Y la suma de Riemann es}\\&\\&S=\lim_{n\to \infty}\frac 3n\sum_{i=1}^{n}\left(7-\frac{27}{n}i+\frac{18}{n^2}i^2 \right)=\\&\\&\lim_{n\to \infty}\frac 3n\left(7n-\frac{27}{n}\sum_{i=1}^{n}i+\frac{18}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i^2  \right)=\\&\\&\text{El sumatorio de los primeros naturales lo podemos}\\&\text{deducir, es la suma de una sucesión aritmética}\\&\text{Para el los primeros n cuadrados hay una fórmula}\\&Sc_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\&\\&=\lim_{n\to \infty}\frac 3n\left(7n-\frac{27}{n}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{18}{n^2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}  \right)=\\&\\&\text{metiendo el 1/n dentro}\\&\\&3\left(\lim_{n\to \infty} \frac {7n}{n}-\frac{27}2\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+n}{n^2} +3 \lim_{n\to \infty}\frac{2n^3+an^2+bn+c}{n^3} \right)=\\&\\&\text{no nos importa lo que valgan a,b,c}\\&\\&3\left(7-\frac{27}{2}+3·2\right)=3\left(13-\frac {27}2  \right)=-\frac {3}2\end{align}$$

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Y eso es todo.