Duda subgrupos y centralizador del subgrupo
Gracias de antemano la ayuda! :)
Si G es un grupo y H≤G, demuestre que C(H)≤G.
Buenas, es un subgrupo. y C(H)={x en G/xh=hx para todo h en H}
Usaremos el teorema de caracterización de subgrupos. Dado H un subconjunto no vació del grupo G, entonces H es un subgrupo de G si para todo par de elementos a, b € H se cumple ab' € H.
Donde b' es b^(-1) y € significa "pertenece a"
Debemos ver que
C(H)={x en G | xh=hx para todo h en H}
es un subgrupo de G.
Primeramente es un subconjunto de G, ya que por definición son elemento de G. Es no vacío porque el elemento neutro (1) pertenece a C(H) ya que 1·h=h·1=h para todo h € H
Sean a y b € C(H)
ah=ha para todo h € H
bh=hb para todo h € H
multiplicando a izquierdas por el inverso de b
b'bh = b'hb
h = b'hb
multiplicando a derechas por el inverso de b
hb' = b'hbb'
hb' = b'h
multiplicando por a a la izquierda
ahb' = ab'h
como ah=ha para todo h
hab' = ab'h
Para dejarlo exacto a la definición intercambiamos los lados y ponemos paréntesis
(ab')h = h(ab')
Luego (ab') € C(H)
Y ya está demostrado que C(H) es un subgrupo de G.
·
Y eso es todo.
