Entramado de elementos de un grupo

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Imagino que querías decir

$$\begin{align}&\mathbb Z_{p^2q}\end{align}$$

Y además, aunque no lo dices, es seguro que quieren decir que p y q son números primos.

Dicho grupo es un grupo cíclico, luego todos sus subgrupos son cíclicos y además hay subgrupos para todos los divisores del orden del grupo.

Aparte de los grupos triviales, el del elemento neutro y el completo, corrrespondientes a los divisores 1 y p^2·q tenemos estos divisores

p, p^2, q, pq

luego los subgrupos son

$$\begin{align}&\{\mathbb Z_1,\mathbb Z_p, \mathbb Z_{p^2}, \mathbb Zq,\mathbb Z_{pq},\mathbb Z_{p^2q}\}\end{align}$$

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Y eso es todo.