Formar Ec diferenciales mediante familia de curvas

Diosa Lara!

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Despejamos las constantes y luego hacemos derivación implícita.

$$\begin{align}&y = C_1 \cos 2x + C_2 \,sen\, 2x\\&\\&C_1=\frac{y-C_2\,sen\, 2x}{\cos 2x}\\&\\&0=\frac{(y'-2C_2 \cos 2x) \cos 2x+2\,sen\, 2x(y-C_2 \,sen\, 2x)}{\cos^22x}\\&\\&0=y'· \cos 2x -2C_2 \cos^2 2x+2y\,sen\, 2x-2C_2sen^2 2x\\&\\&0=y'· \cos 2x+2y\,sen\, 2x-2C_2\\&\\&y'· \cos 2x+2y\,sen\, 2x =2C_2\\&\\&\text {volvemos a derivar implícitamente}\\&\\&y'' \cos 2x -2y' sen\, 2x+2y'sen\,2x+4y \cos 2x=0\\&\\&y'' \cos 2x + 4y\, \cos 2x = 0\\&\\&y'' + 4y =0\\&\\&\\&\end{align}$$

Claro, otra forma hubiera sido sabiendo que las ecuaciones lineales de segundo grado con ecuación característica con raíces complejas tiene esa forma de solución, pero yo creo que lo que querían era que empleases el méto que he empleado.

Y eso es todo.