Calcular k en el siguiente limite:

·

Podemos transformar la expresión hasta dar con la defición del número e

$$\begin{align}&e=\lim_{f(x)\to\infty} \left(1+\frac{1}{f(x)}  \right)^{f(x)}\end{align}$$

$$\begin{align}&\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+k)^{2x}}{(x^2+5)^x}=e^5\\&\\&\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+k)^{2x}}{(x^2+5)^x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{((x+k)^2)^x}{(x^2+5)^x}=\\&\\&\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2+2kx+k^2}{x^2+5}\right)^x=\\&\\&\lim_{x \to +\infty} \left(1 +\frac{2kx+k^2-5}{x^2+5}\right)^x=\\&\\&\lim_{x \to +\infty} \left(1 +\frac{1}{\frac{x^2+5}{2kx+k^2-5}}\right)^x=\\&\\&\text{multiplicamos y dividimos el exponente por lo mismo}\\&\\&\lim_{x \to +\infty} \left( \left(1 +\frac{1}{\frac{x^2+5}{2kx+k^2-5}}\right)^{\frac{x^2+5}{2kx+k^2-5}}\right)^{x·\frac{2kx+k^2-5}{x^2+5}}=\\&\\&e^{\lim_{x\to \infty}\frac{2kx^2+k^2x-5x}{x^2+5} }= e^{2k}=e^5\\&\\&2k=5\\&\\&k=\frac 52\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.