Tengo esta duda con estos problemas de derivadas

La primera:

Tomamos logaritmos neperianos de los ambos miembros y luego derivamos miembro a miembro:

ln y=(x+1).ln(x+1)

y´/y = (x+1)/(x+1) +1.ln(x+1)

y´/y= 1+ln(x+1)

y´=y. (1+ln(x+1))

y´=(ln(x+1)^(x+1)).(1+ln(x+1))

_____________________

La segunda:

ln y= (e^x).ln(lnx)

y´/y= (e^x)/(x.lnx)+(e^x).ln(lnx)

y=((ln x)^(e^x)).(e^x)/(x.lnx)+(e^x).ln(lnx)

·

Algunas veces no se precave en que lo escrito se puede interpretar de dos formas y se ahorran paréntesis que son necesarios.

¿Qué función de estas dos dirás tu que es? A lo mejor conociendo el libro tu lo sabes.

$$\begin{align}&a)\quad y=ln\left((x+1)^{(x+1)}\right)\\&\\&b) \quad y=[ln(x+1)]^{(x+1)}\end{align}$$

¿Has dado la derivación logarítmica?  Si no la has dado seguramente será la opción a), si la has dado podría ser la b).  De todas formas si has debido dar la derivación lagarítmica porque la otra derivada lo necesita.  Entonces fijándome en como han escrito la segunda deduzco que la primera es la forma a).  Voy a resolver la forma a) pero dejando bien claro que es esa la forma que resuelvo

$$\begin{align}&y= ln\left((x+1)^{(x+1)}\right)=(x+1)·ln(x+1)\\&\\&y'=ln(x+1)+(x+1)·\frac{1}{x+1}=\\&\\&ln(x+1)+1\\&\\&\\&------------------\\&\\&y=(ln\,x)^{e^x}\\&\\&\text{tomamos logaritmos neperianos}\\&\\&ln \,y = ln\left((ln\,x)^{e^x}  \right)=e^x·ln(ln\,x)\\&\\&\text{derivando en los dos lados}\\&\\&\frac {y'}{y}=e^x·ln(ln(x))+e^x·\frac{1}{ln\,x}·\frac 1x=\\&\\&e^x·ln(ln(x))+\frac{e^x}{x·ln\,x}\\&\\&\text{Y ahora pasamos y a la derecha ya con su valor}\\&\\&y' = \left(e^x·ln(ln(x))+\frac{e^x}{x·ln\,x}\right)·(ln\,x)^{e^x}\\&\\&\text{Y no merece la pena simplificar nada}\end{align}$$

Y eso es todo.