Métodos de integración por partes
Resuelve las siguientes integrales por el método de integración por partes
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La segunda ya la resolví en una pregunta anterior.
La primera es algo más complicada, hay que aplicar dos veces la integración por partes.
$$\begin{align}&\int x^2e^{6x}dx=\\&\\&u=x^2\quad\quad\quad du = 2x\,dx\\&dv=e^{6x}dx\quad v=\frac 16e^{6x}=\\&\\&\frac 16x^2e^{6x}-\frac 13\int x\,e^{6x}\;dx=\\&\\&u=x\quad\quad\quad du=dx\\&v=e^{6x}dx\quad v=\frac{1}{6}e^{6x}\\&\\&= \frac 16x^2e^{6x}-\frac 13·\frac 16xe^{6x}+\frac 1{18}\int e^6x dx=\\&\\&\frac 16x^2e^{6x}-\frac 1{18}xe^{6x}+\frac 1{108}e^{6x}+C=\\&\\&\frac{e^{6x}}{6}\left(x^2-\frac x3+\frac 1{18} \right)+C\\&\\&\text {o de esta otra forma}\\&\\&\frac{(18x^2-6x+1)e^{6x}}{108}+C\end{align}$$Y eso es todo.
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Respuesta de Lucas m
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Te haré la primera que se hace aplicando dos veces la integral por partes:
$$\begin{align}&\int x^2e^{6x}dx=\\&u=x^2 \Rightarrow u'=2x\\&v'=e^{6x} \Rightarrow v=\frac{e^{6x}}{6}\\&\\&=uv-\int u'v=\\&x^2 \frac{e^{6x}}{6}-\frac{2}{6} \int xe^{6x}=\\&\\&\frac{e^{6x}}{6}-\frac{1}{3}I \ (**)\\&\\&\\&I=\int x e^{6x}dx=otra \ vez \ por \ partes\\&x=u \Rightarrow u'=1\\&e^{6x}=v' \Rightarrow v=\frac{e^{6x}}{6}\\&I=x \frac{e^{6x}}{6}-\frac{1}{6} \int e^{6x}dx=x \frac{e^{6x}}{6}-\frac{1}{36}e^{6x}\\&\\&\\&(**)\\&x^2 \frac{e^{6x}}{6}-\frac{1}{3}I=\\&\\&x^2 \frac{e^{6x}}{6}-\frac{1}{3}(x \frac{e^{6x}}{6}-\frac{1}{36}e^{6x})=\\&\\&x^2 \frac{e^{6x}}{6}-\frac{1}{18}xe^{6x}+\frac{1}{108}e^{6x}+C\end{align}$$La segunda es la misma que la I de arriba, cambiando un 6 por un 5