Usando los axiomas de la suma demostrar:

·

a)

Se llama (-a) al opuesto de a (el inverso de la operación suma) es decir es el numero tal que

a + (-a) = (-a) + a = 0

Y se llama resta

a - b = a + (-b)

Como (R, +) es un grupo todo elemento tiene su opuesto

Si a + b= 0

sumamos el opuesto de a a la izquierda

(-a) + (a+b) = (-a) + 0

en la izquierda aplicamos la asociativa y en la derecha el elemento neutro

((-a) + a) + b = (-a)

Aplicamos el elemento inverso en la izquierda, quitamos los paréntesis de la derecha porque no hay confusión

0 + b = -a

Aplicamos elemento neutro

b = -a

·

b)

El miembro izquierdo es el opuesto del opuesto de a, por definición debe cumplir

-(-a) + (-a) = 0

Sumamos a a la derecha en cada lado, haré las mismas cosas que en apartado anterior luego no las explicaré

(-(-a) + (-a)) + a = 0+a

-(-a) +((-a)+a) = a

-(-a) +0 = a

-(-a) = a

·

c)   - (a - b) = b - a. Por lo tanto - 0 = 0

por definición

-(a-b) + (a-b) = 0

por definición de resta la operación es esta

-(a-b) + (a + (-b)) = 0

(-(a-b) + a) + (-b) = 0

Sumamos a la derecha el opuesto de (-b) que es b ser el opuesto es una propiedad simétrica

[(-(a-b) + a) + (-b)] + b = 0 + b

(-(a-b) + a) + [(-b) + b] = 0 + b

(-(a-b) + a) + 0 = b

-(a-b) + a = b

Ahora sumamos el opuesto de a

[-(a-b) + a]+(-a) = b+(-a)

-(a-b) + [a + (-a)] = b + (-a)

-(a-b) + 0 = b+(-a)

-(a-b) = b+(-a)

y el lado derecho por definicion es la resta b-a

-(a - b) = b - a

·

si tomamos a=b

- (a - a) = a - a

la operación suma real es

- [a + (-a)] = a + (-a)

-0 = 0

·

d) Si para algún a que pertenece a R, a + b = a, entonces b = 0

si a+b=a

sumamos el opuesto de a a la izquierda

(-a) + (a+b) = (-a) + a

[(-a) + a] + b = 0

0+b = 0

b = 0

·

Y eso es todo.