¿Cual es el mínimo costo promedio?

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Calculamos primero el costo promedio dividiendo entre x

Cm(x) = (0.001x^2+5x+2000) / x = 0.001x + 5 + 2000/x

Y ahora derivamos e igualamos a 0 para hallar el mínimo

Cm'(x)  = 0.001 - 2000/x^2 = 0

0.001 = 2000/x^2

0.001x^2 = 2000

x^2 = 2000000

x = sqrt(2000000) = 1414.21

Es un mínimo ya que la derivada segunda es

Cm''(x) = 4000/x^3

que es positiva para x=1414.21

Y el costo promedio mínimo será

Cm(1414.21) = 0.001 · 1414.21 + 5 + 2000/1414.21 =

1.41421 + 5 + 1.41421 = 7.828427