Escribir las propiedades de los números reales que se vaya usando.

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$$\begin{align}&\frac{2x}{x+1}=6x-1\\&\\&\text{la división }\frac ab \text{ se define como }ab^{-1}\\&\\&2x(x+1)^{-1}=6x-1\\&\\&\text{se multiplica por el inverso de }(x+1)^{-1} \\&\text{que es }(x+1)\\&\\&2x(x+1)^{-1}(x+1) =(6x-1)(x+1)\\&\\&\text{en la izquierda hay elementos inversos}\\&\text{en la derecha distributiva}\\&\\&2x·1 = (6x-1)x +(6x-1)·1\\&\\&\text{en la izquierde elemento neutro}\\&\text{en la derecha distributiva}\\&\\&2x = 6x^2-x+6x-1\\&\\&\text{sumo el opuesto de 2x}\\&\\&2x + (-2x) = 6x^2-x+6x+(-2x)-1\\&\\&\text{a la izquierda suma de opuestos}\\&\text{a la derecha distributiva}\\&\\&0= 6x^2 + x(-1+6-2)-1\\&\\&6x^2 +3x-1=0\\& \end{align}$$

y todo esto ha sido sin aplicar realmente todas las propiedades, porque he omitido todo lo referente a la propiedad asociativa y no he usado la definición de resta como suma de uno con el opuesto del otro.  Realmente si quisieras dar todos los detalles sería interminable.

Y ahora deja ya de anotar propiedades y se resuelve con la fórmula de la ecuación de segundo grado.

$$\begin{align}&x= \frac{-3\pm \sqrt{9+24}}{12}\\&\\&x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{12}\approx 0.22871355\\&\\&x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{12}\approx -0.72871355\end{align}$$

Y eso es todo.