¿Como se resuelven estos ejercicios de calculo sobre sólidos?
- Formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región plana alrededor del eje x usando el método de los discos.
$$\begin{align}&y=2-x^2 \end{align}$$2. Formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región plana alrededor del eje x usando el método de las arandelas.$$\begin{align}&y=x^2 \\&y=x^4\\&\end{align}$$3. Formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región plana alrededor del eje y usando el método de las capas (o casquillos).$$\begin{align}&y=4x-x^2 \\&y=4\\&x=0\\&\end{align}$$4. Ingresa a WolframAlpha e introduce lo siguiente: revolve region between y=x^2 and y=x, 0<x<1, about the y-axis (traducido al español sería: revolucionar la región entre y=x^2 y y=x, con límites entre 0<x<1, alrededor del eje y)Explica que realiza la consulta que acabas de introducir e interpreta el resultado obtenido.
Puedes utilizar está herramienta para validar tus respuestas de los incisos a, b y c. Incluye en tu reporte las gráficas que WolframAlpha produce.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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1)
La fórmula para el volumen de un cuerpo generado por una región limitada por una función que gira alrededor del eje X es
$$\begin{align}&V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx\\&\\&\text{No nos dicen los límites en x, supondré}\\&\text{que son los cortes con el eje X}\\&\\&2-x^2=0\\&\\&x=\pm \sqrt 2\\&\text{La función es par, generará igual volumen}\\&\text{a la izquierda y derecha del eje Y}\\&\\&V=2 \pi\int_0^{\sqrt 2} (2-x^2)^2dx=\\&\\&2\pi \int_0^{\sqrt 2}(4-4x^2+x^4)dx=\\&\\&2\pi\left[4x-\frac{4x^3}{3}+\frac {x^5}{5} \right]_0^{\sqrt 2}=\\&\\&2\pi\left(4 \sqrt 2-\frac 83 \sqrt 2+\frac 45 \sqrt 2 \right)=\\&\\&2 \sqrt 2\,\pi\left(4-\frac 83+\frac 45 \right)=\\&\\&2 \sqrt 2\,\pi\left(\frac{60-40+12}{15} \right)=\\&\\&2 \sqrt 2\,\pi \frac{32}{15}=\frac {64 \sqrt 2 \,\pi}{15}\approx 18.95630054\end{align}$$·
Y eso es todo.
