Demostrar que (A U B)^c = A^c n B^c, complemento de A union B es igual a complemento de A intersección complemento de B.

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Perdona por la tardanza, pero los ejercicios estos de conjuntos se me atragantan un poco.

Consiste como es todos, tomar un elemento de un conjunto, ver que está en el otro y tomarlo del otro y ver que está en el otro.

Si se sabe utilizar muy bien el si y solo si <==> se pueden hacer las dos demostraciones en una, yo muchas veces prefiero no usarlo porque puede no estar claro que se sea cierto.

$$\begin{align}&Sea\; x\in (A\cup B)^c \iff\\&\\&x \notin (A\cup B)\iff\\&\\&x\notin A, \;x\notin B\iff\\&\\&x\in A^c,\;x \in B^c \iff\\&\\&x\in(A^c\cap B^c)\\&\\&\text{luego}\\&\\& (A\cup B)^c \subseteq (A^c\cap B^c)\\&\\&\text{y que }(A^c\cap B^c) \subseteq (A\cup B)^c\\&\\&\text{tomando de final a principio la demostración anterior}\\&\\&\text{luego}\\&\\&(A\cup B)^c = (A^c\cap B^c)\\&\end{align}$$

Pero hay que tener mucho cuidado al poner los si y solo si, no se pueden poner a la ligera sin comprobar que es verdad en las dos direcciones, que muchas veces no lo es.

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Y eso es todo.